¿Por qué la ecuación de onda es tan omnipresente?

La ecuación de onda homogénea se puede expresar en forma covariante como

◻ 2 φ = 0

dónde ◻ 2 es el operador de D'Alembert y φ es algún campo físico .

La ecuación de onda acústica toma esta forma.

El electromagnetismo clásico se describe mediante la ecuación de onda no homogénea

◻ 2 A m = j m

dónde A m es el cuadripotencial electromagnético y j m es la corriente electromagnética de cuatro .

La conducción de calor relativista se describe mediante la ecuación relativista de Fourier.

( ◻ 2 − α − 1 ∂ t ) θ = 0

dónde θ es el campo de temperatura y α es la difusividad térmica .

La evolución de un campo escalar cuántico se describe mediante la ecuación de Klein-Gordon

( ◻ 2 + m 2 ) ψ = 0

dónde m es la masa y ψ es la función de onda del campo.

¿Por qué la ecuación de onda y sus variantes son tan omnipresentes en la física? Mi sensación es que tiene algo que ver con los lagrangianos de estos sistemas físicos y las soluciones a las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange . También podría tener algo que ver con el hecho de que las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , a diferencia de las elípticas y las parabólicas , tienen una velocidad de propagación finita.

¿Son correctas estas intuiciones? ¿Existe una razón subyacente más profunda para esta omnipresencia?

EDITO: Se me acaba de ocurrir algo. ¿Podría la ubicuidad de la ecuación de onda tener algo que ver con el hecho de que las partes real e imaginaria de una función analítica son funciones armónicas ? ¿Sugiere esto que los campos descritos por la ecuación de onda son simplemente los componentes reales e imaginarios de un campo complejo más fundamental que es analítico?

EDICIÓN 2: Esta pregunta podría ser relevante: ¿Por qué las ecuaciones diferenciales para campos en física son de orden dos?

Además: ¿Por qué las ecuaciones diferenciales de la física no van más allá del segundo orden?

En un sentido muy real, la naturaleza solo desarrolla ecuaciones hiperbólicas; las ecuaciones elípticas y parabólicas son lo que obtenemos cuando hacemos varias aproximaciones que cambian la pregunta de "¿cómo evoluciona esto?" a "¿en qué evoluciona esto?" o "¿aproximadamente cómo evoluciona esto?" Incluso entonces, sin embargo, la ecuación de onda no es la única ecuación hiperbólica que existe. Leyes de conservación (ej. ∇ m T m v = 0 ) engendran naturalmente sistemas hiperbólicos de primer orden.

Respuestas (1)

Esta es una respuesta de un experimentador que había estado ajustando datos con modelos matemáticos desde 1968.

Al ajustar los datos, uno va a los modelos matemáticos más simples. Cuando los datos muestran variaciones en el tiempo y el espacio, la expansión de Fourier es extremadamente útil porque proporciona las frecuencias y amplitudes que se ajustarán a un conjunto de datos periódicos. Se obtienen como soluciones senos y cosenos y las ecuaciones diferenciales más puras son las ecuaciones diferenciales de onda.

En un nivel muy simplificado, las ecuaciones de onda son ubicuas, similar a la ubicuidad del potencial del oscilador armónico: el primer término en los potenciales pares es el potencial del oscilador armónico. La teoría de cuerdas, por ejemplo, está usando eso, y ahora uno está yendo a la teoría M y tal vez a "términos/funciones" más altos sobre la idea de periodicidad en las dimensiones.

Así que me parece que es el principio KISS (mantenlo simple, estúpido :)) en el trabajo. Después de que todas las teorías físicas se "inventan" para adaptarse a los observables y predecir nuevas observaciones, la simplicidad es una regla general en la física.

La parte clave aquí es el hecho de que cerca del equilibrio la mayoría de los sistemas físicos son armónicos. Eso es realmente todo lo que hay que hacer.
@DanielSank sí, similar al orden más bajo en la expansión de un potencial par, siendo el potencial del oscilador armónico
Pero algunas de estas ecuaciones de onda parecen ser fundamentales y no meras aproximaciones, como la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de potencial covariante para el electromagnetismo clásico, por ejemplo. ¿No sugeriría esto que hay algo más profundo aquí?
La ecuación de Klein Gordon se puede ver como un punto fijo gaussiano de un flujo RG .
Creo que el OP no pregunta por qué la gente sigue probando versiones de la ecuación de onda, creo que es más por qué sigue funcionando. KISS se aplica al comportamiento humano , no necesariamente al comportamiento de los sistemas físicos observados (o no) por los humanos .
@uhoh Ajustar curvas en datos es comportamiento humano. Si el modelo es predictivo, entonces se valida y se asume que se mantiene incluso si nadie observa. Más allá de eso, uno está en la metafísica, no en la física. ¿Existes cuando no estoy viendo tu comentario?
Muchos, si no la mayoría de los ejemplos de fenómenos que se pueden explicar con varias formas de la ecuación de onda en la pregunta, en realidad no involucran un potencial de oscilador armónico, pero creo que solo lo mencionaste como un ejemplo de ubicuidad. También me gustaría saber " ¿Por qué la ecuación de onda y sus variantes son tan omnipresentes en la física? " En cuanto a su pregunta, realmente no estoy tan seguro de existir, nunca lo he sido. Pero cuando inicio sesión en stackexchange y veo cosas que estoy bastante seguro de que escribí, ¡me da confianza de que podría hacerlo!
@uhoh, sí, el oscilador armónico aparece prácticamente en todas las aproximaciones de potenciales mecánicos cuánticos, y vale la pena enfatizar que se debe a que la mayoría de los potenciales son simétricos en coordenadas espaciales. Por supuesto, si uno, puede uno resuelve la función potencial completa.
¿Por qué la ecuación de onda es tan omnipresente?
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