¿Todos los procesos similares a la difusión se describen como ondulatorios en formulaciones compatibles con la relatividad?

Question

¿Todos los procesos similares a la difusión se describen como ondulatorios en formulaciones compatibles con la relatividad?

ondas
Física
relatividad
termodinámica
relatividad especial
ecuaciones diferenciales

dahemar

Citando del artículo de Wikipedia sobre conducción de calor relativista :

Durante la mayor parte del siglo pasado, se reconoció que la ecuación de Fourier (y su ley de difusión de Fick más general) está en contradicción con la teoría de la relatividad, al menos por una razón: admite una velocidad infinita de propagación de señales de calor dentro del continuo. campo. [...] Para superar esta contradicción, trabajadores como Cattaneo, Vernotte, Chester y otros propusieron que la ecuación de Fourier debería actualizarse de la forma parabólica a una forma hiperbólica,

$\frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} θ}{\partial t^{2}} + \frac{1}{α} \frac{\partial θ}{\partial t} = \nabla^{2} θ$ $\frac{1}{C^2}\frac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} +\frac{1}{\alpha}\frac{\partial \theta}{\partial t}=\nabla^2\theta$ también conocida como la ecuación del Telegrapher. Curiosamente, la forma de esta ecuación tiene su origen en las ecuaciones electrodinámicas de Maxwell; por lo tanto, la naturaleza ondulatoria del calor está implícita.

Me parece que las PDE que describen cualquier otro proceso de difusión, por ejemplo, la ecuación de Fokker-Planck para el movimiento browniano, también asumirán una velocidad de propagación infinita. Entonces, si mi intuición es correcta, serán incompatibles con SR y tendrán que "actualizarse" a ecuaciones hiperbólicas similares a ondas.

Si esto fuera una regla general, ¿tendríamos, por ejemplo, una ecuación de onda relativista para el movimiento browniano? Parece poco probable... ¿Hay, entonces, algún ejemplo de ecuación de difusión/dispersiva cuya forma "sobreviva" en una descripción compatible con la relatividad?

Editar:

Agregaré una reformulación más amplia de la pregunta, como lo sugiere un comentario de @CuriousOne:

¿Podemos encontrar una ecuación de primer orden que modele los límites de velocidad finitos o automáticamente estamos regresando a las ecuaciones de segundo orden? ¿Hay un teorema matemático general en juego aquí sobre las soluciones de ecuaciones de primer y segundo orden?

TLDR

El movimiento browniano generalmente surge del límite de escala de una caminata aleatoria, que involucra "patadas" de algún fluido ambiental. Una versión relativista implicaría transformarse en el marco de reposo (local) del fluido antes de integrar aún más la trayectoria. Siempre que la velocidad en cada paso de la caminata aleatoria original sea menor que

c

$c$ , seguirá comportándose como un movimiento browniano ordinario a gran escala, con probabilidad de satisfacer una ecuación de difusión local. El proceso de difusión aproximado predeciría cierta cantidad de transporte superlumínico, pero la cantidad sería insignificante.

Quillo

La solución se puede encontrar aquí: arxiv.org/abs/2105.15184 . Intuitivamente, si desea alguna formulación de SR, el tiempo y el espacio deben ser "simétricos", en el sentido de que la ecuación final es de segundo orden en el tiempo y segundo orden en el espacio (ya que un impulso mezcla el tiempo y el espacio). La respuesta es la teoría de "Israel y Stewart" para la difusión del calor, o la alternativa de "primer orden" llamada BDNK que, sin embargo, rompe la segunda ley de la termodinámica en algún régimen.

Respuestas (2)

¿Todos los procesos similares a la difusión se describen como ondulatorios en formulaciones compatibles con la relatividad?

El movimiento browniano generalmente surge del límite de escala de una caminata aleatoria, que involucra "patadas" de algún fluido ambiental. Una versión relativista implicaría transformarse en el marco de reposo (local) del fluido antes de integrar aún más la trayectoria. Siempre que la velocidad en cada paso de la caminata aleatoria original sea menor que $c$ , seguirá comportándose como un movimiento browniano ordinario a gran escala, con probabilidad de satisfacer una ecuación de difusión local. El proceso de difusión aproximado predeciría cierta cantidad de transporte superlumínico, pero la cantidad sería insignificante.
La solución se puede encontrar aquí: arxiv.org/abs/2105.15184 . Intuitivamente, si desea alguna formulación de SR, el tiempo y el espacio deben ser "simétricos", en el sentido de que la ecuación final es de segundo orden en el tiempo y segundo orden en el espacio (ya que un impulso mezcla el tiempo y el espacio). La respuesta es la teoría de "Israel y Stewart" para la difusión del calor, o la alternativa de "primer orden" llamada BDNK que, sin embargo, rompe la segunda ley de la termodinámica en algún régimen.

Tomás · Answer 1

Esta es una pregunta sutil y algo complicada, pero creo que la respuesta básica es ``no''.

1) La ecuación relativista de Boltzmann es

{pag}^{m} \partial_{m} F = C [F]

$p^\mu\partial_\mu f = C[f]$ que tiene la misma estructura que la ecuación de Boltzmann no relativista. Esta ecuación se puede utilizar para derivar ecuaciones relativistas de Fokker-Planck. Un ejemplo es el término de colisión de Landau, que describe la dispersión de partículas cargadas en un plasma relativista. La ecuación de FP resultante tiene la misma estructura que la ecuación de FP no relativista; consulte, por ejemplo, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0378437180901570 .

2) También tenga en cuenta que la ecuación de Cattaneo (y ecuaciones similares para otros problemas de difusión) no son ecuaciones "fundamentales". Tome la ecuación de la conservación actual

\partial_{0} norte + \vec{\nabla} \cdot \vec{ȷ} = 0 .

$\partial_0 n +\vec\nabla\cdot\vec\jmath = 0 .$ La ley de Fick es que

\vec{ȷ}

$\vec\jmath$ es instantáneamente igual al flujo difusivo

- D \vec{\nabla} n

$-D\vec\nabla n$ . Esto es incompatible con la relatividad. Podemos tratar de arreglar las cosas escribiendo un modelo de tiempo de relajación para el actual,

τ \partial_{0} \vec{ȷ} = - (\vec{ȷ} + D \vec{\nabla} norte),

$\tau\partial_0 \vec\jmath = -(\vec\jmath+D\vec\nabla n) ,$ lo que da la ecuación de Cattaneo

τ \partial_{0}^{2} norte + \partial_{0} norte - D \nabla^{2} norte = 0 .

$\tau\partial_0^2 n + \partial_0 n - D\nabla^2 n = 0 \, .$ Pero, en general, podría haber un kernel de memoria mucho más complicado.

\vec{ȷ} (r, t) = \int d r^{'} d t^{'} GRAMO (r, t; r^{'}, t^{'}) \nabla norte (r^{'}, t^{'})

$\vec\jmath (r,t) =\int dr' dt' \, G(r,t;r' ,t' )\nabla n(r' ,t' )$ y el modelo de tiempo de relajación es una aproximación que se deriva de modelos cinéticos simples en el límite

\partial_{0} n ≪ n / τ

$\partial_0n \ll n/\tau$ .

3) También tenga en cuenta que el problema no está solo relacionado con la invariancia relativista y la causalidad. En un gas no relativista también es imposible que la corriente sea instantáneamente igual al flujo difusivo. Tome un gas ultrafrío en el que los átomos se muevan a velocidades $\sim cm/s$ . Entonces cualquier frente difusivo que se mueva a $m/s$ (muy lejos de la velocidad de la luz) es claramente no físico, y la ecuación de Cattaneo es más apropiada que la ley de Fick. Lo que sucede aquí es que tomamos la ley de Fick, que es una aproximación de longitud de onda larga (grano grueso), y la llevamos a distancias que son demasiado cortas.

Si bien me gusta su respuesta (y estoy de acuerdo en que, para empezar, no es una cuestión de relatividad), la ecuación de Cattaneo es de segundo orden (¿me equivoco en eso?), Por lo tanto, en un sentido amplio, la pregunta del OP sigue siendo: ¿podemos encontrar? ¿una ecuación de primer orden que modela los límites de velocidad finitos o estamos automáticamente siendo arrojados de vuelta a las ecuaciones de segundo orden? ¿Hay un teorema matemático general en juego aquí sobre las soluciones de ecuaciones de primer y segundo orden?
¡Gracias! Esa fue una respuesta informativa. @CuriousOne: No comenté que hubo problemas incluso con gases no relativistas, pero diría que todavía hay una incompatibilidad entre la relatividad y las ecuaciones de difusión (tome la ecuación de Schrödinger, por ejemplo). Sin embargo, me suscribo al resto de tu comentario.
@DavidHerreroMartí: Absolutamente. Simplemente estaba tratando de decir que la relatividad no es lo primero que hace que las ecuaciones de difusión sean "no físicas", pero tampoco puedo ver ninguna compatibilidad entre las ecuaciones de primer orden y la relatividad. Creo que hay algunas declaraciones matemáticas sólidas sobre esto, pero ya no sé dónde las vi.

Afortunado · Answer 2

La causa principal se debe en última instancia a la suposición o uso de la ley de Fick o la ley de Fourier, que no es apropiada a escalas relativistas. La ecuación de calor hiperbólica es simplemente una solución ordenada a los problemas de difusión que satisface la relatividad. Al entrar apropiadamente en una ley de Fourier relativista de la ley de Fick, siempre puede derivar la nueva PDE "correcta". Tenga en cuenta que esto no produce necesariamente la ecuación de calor hiperbólica, ya que simplemente explica la difusión y la propagación de ondas.

Dependiendo de la física de la propiedad particular, sabemos que la advección es otra forma de transporte. La radiación (propagación espontánea sin medio) también es posible. Entonces, en general, el PDE físicamente correcto real podría ser casi cualquier cosa.

En cuanto a un teorema general, creo que la clasificación de los problemas como parabólicos/hiperbólicos/elípticos/otros ya capta estos efectos.

¿Por qué la ley de Fick no es válida en el dominio relativista? La hidrorrelativista estándar (como se usa en astrofísica, física de iones pesados, AdS/CFT) se basa en las leyes de Fick y Fourier.

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