Forma exacta de la ecuación de onda amortiguada

La ecuación de onda no amortiguada tiene la forma estándar

∂ 2 ψ ∂ t 2 = C 2 ∇ 2 ψ

mientras que la ecuación de onda amortiguada se encuentra frecuentemente escrita de esta manera

∂ 2 ψ ∂ t 2 = C 2 ∇ 2 ψ + v ∂ ψ ∂ t

pero en algunas otras ocasiones puedes encontrar este formulario

∂ 2 ψ ∂ t 2 = ∇ 2 ( C 2 ψ + v ∂ ψ ∂ t )

Desde el punto de vista matemático, estas dos ecuaciones son muy diferentes, pero dado que ambas se denominan ecuaciones de onda amortiguada, espero que describan fenómenos similares. ¿Me puede explicar cuáles son los fenómenos descritos por uno y los descritos por el otro?

Respuestas (1)

Ambas ecuaciones describen el amortiguamiento. Sin embargo, la segunda variante crea una atenuación dependiente del número de onda. Si transforma la ecuación de Fourier, verá que el término de amortiguamiento imaginario en el segundo dice

i v k 2 ω
mientras que la k 2 está ausente en la primera variante. Por lo tanto, la primera variante describe una situación en la que cada modo propio se amortigua con la misma fuerza, mientras que la segunda describe una amortiguación más fuerte a una longitud de onda más corta.

Gracias por tu respuesta, ya es útil, pero desde el punto de vista físico las ondas siempre se describen mejor por la segunda ecuación y la primera es solo una aproximación o hay casos en que una es correcta y la otra es ¿no? Por ejemplo, las ondas de sonido, las ondas EM, las vibraciones del haz, etc., ¿están sujetas a diferentes tipos de amortiguamiento?
@AlessandroZunino Tendré que buscar eso para ser honesto. Pero es una pregunta interesante.
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