Interpretación de valores propios y vectores propios de una ley de conservación hiperbólica ∂tW+A∂xW=0∂tW+A∂xW=0\partial_t W + A \partial_x W = 0

Considero que las notas de Pulliam para las ecuaciones de Euler son una muy buena introducción a este tema usando las ecuaciones de movimiento de fluidos. La idea es que empieces con una ley de conservación:

$$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t} + \frac{\partial \vec{F}\left(\vec{Q}\right)}{\partial x} = 0$$

dónde$Q$es su vector variable y$F$es su función de flujo. Puede introducir un jacobiano de flujo y asumir que el jacobiano es constante para obtener una ecuación casi lineal:

$$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t} + \frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{Q}}\frac{\partial \vec{Q}}{\partial x} = 0$$

donde podemos llamar$\partial \vec{F}/\partial \vec{Q} = A^\prime$. Ahora, queremos buscar un nuevo vector de variables relacionadas con el primer conjunto,$\vec{W} = (\partial \vec{Q}/\partial \vec{W}) \vec{Q} = J \vec{Q}$. Introducimos esto en nuestra ecuación y obtenemos:

$$J \frac{\partial \vec{W}}{\partial t} + A^\prime J \frac{\partial \vec{W}}{\partial x} = 0 \\ \rightarrow \frac{\partial \vec{W}}{\partial t} + J^{-1} A^\prime J \frac{\partial \vec{W}}{\partial x} = 0$$

Y elegimos nuestro nuevo conjunto de variables$\vec{W}$tal que$J^{-1} A^\prime J = A$es bueno". Cómo elegimos "agradable" depende de usted. Desea convertirlo en algo que pueda diagonalizar para poder dividirlo en$A = T^{-1} \Lambda T$dónde$\Lambda$es una matriz diagonal con los valores propios a lo largo de la diagonal. Si puedes hacer eso, obtendrás:

$$\frac{\partial \vec{W}}{\partial t} + T^{-1} \Lambda T \frac{\partial \vec{W}}{\partial x}$$

Luego multiplica por$T$y obtienes un nuevo conjunto de variables$T \vec{W} = \vec{S}$:

$$\frac{\partial \vec{S}}{\partial t} + \Lambda \frac{\partial \vec{S}}{\partial x}$$

si recuerdas,$\Lambda$es diagonal! Esto significa que ahora ha desacoplado sus ecuaciones para que puedan resolverse de forma independiente, ¡una gran mejora para encontrar la solución! el vector$\vec{S}$es el vector variable característico.

Solo un componente del vector puede cambiar a lo largo de cada línea característica, los demás son constantes a lo largo de la línea característica. Cada vector en la matriz de vectores propios de la derecha$T$le da el vector característico (dirección de la línea característica) y el elemento en$\Lambda$le da la velocidad característica a lo largo de ese vector. El vector en la matriz de vectores propios de la izquierda multiplicado por su vector variable original le da la variable característica para esa ecuación.

Lo último que hay que tener mucho cuidado es la notación. Algunas personas eligen$A = T \Lambda T^{-1}$mientras otros eligen$A = T^{-1} \Lambda T$y si la matriz es simétrica puede ser$A = T^T \Lambda T$o$A = T \Lambda T^T$

Aquí algunos detalles

$$\begin{equation*} \partial _{t}\mathbf{w}(x,t)+\mathbf{A}\cdot \partial _{x}\mathbf{w}(x,t)=0 \end{equation*}$$ Dejar $\mathbf{A}$frijol $n\times n$matriz. Entonces $\mathbf{w}$debe ser $n$-dimensional. Supongamos que $\mathbf{A}$tiene entradas reales y $\mathbf{w }$tiene componentes reales.

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{w}(x,t) &=&\exp [t\mathbf{A}\partial _{x}]\cdot \mathbf{w}(x,0) \\ \mathbf{A} &=&\mathbf{V}^{-1}\mathbf{\cdot B\cdot V} \\ \mathbf{w}(x,t) &=&\exp [t\mathbf{V}^{-1}\mathbf{\cdot B\cdot V}\partial _{x}]\cdot \mathbf{w}(x,0)=\mathbf{V}^{-1}\mathbf{\cdot }\exp [t\mathbf{B} \partial _{x}]\mathbf{\cdot V}\cdot \mathbf{w}(x,0) \\ \mathbf{y}(x,t) &=&\mathbf{V\cdot w}(x,t)=\exp [t\mathbf{B}\partial _{x}] \mathbf{\cdot y}(x,0) \\ \mathbf{B} &=&\sum_{j}b_{j}\mathbf{u}_{j}\mathbf{v}_{j}^{T},\;\mathbf{v}% _{j}^{T}\cdot \mathbf{u}_{h}=\delta _{jh} \\ \exp [t\mathbf{B}\partial _{x}] &=&\sum_{j}\exp [b_{j}t\partial _{x}]\mathbf{ u}_{j}\mathbf{v}_{j}^{T} \\ \mathbf{y}(x,t) &=&\sum_{j}\exp [b_{j}t\partial _{x}]\mathbf{u}_{j}\mathbf{v} _{j}^{T}\cdot \mathbf{y}(x,0) \\ y_{j}(x,t) &=&\mathbf{v}_{j}^{T}\cdot \mathbf{y}(x,t)=\exp [b_{j}t\partial _{x}]\mathbf{v}_{j}^{T}\cdot \mathbf{y}(x,0) \\ &=&\exp [b_{j}t\partial _{x}]y_{j}(x,0)=y_{j}(x+b_{j}t,0) \end{eqnarray*}$$ Tenga en cuenta que $b_{j}$debe ser real para que esto tenga sentido. Determina la velocidad de la onda en el canal. $j$. Tenga en cuenta además que en dimensiones más altas la situación se vuelve más complicada.