Ecuación vectorial de Helmholtz

Sí, de hecho puede utilizar su conocimiento de la ecuación escalar de Helmholtz. La dificultad con la ecuación vectorial de Helmholtz es que los vectores base$\mathbf{e}_i$también varían de un punto a otro en cualquier otro sistema de coordenadas que no sea el cartesiano, por lo que cuando actúas$\nabla^2$en$\mathbf{u}$los vectores base también se diferencian. Esto te obliga a calcular$\nabla^2 \mathbf{u}$a través de la identidad

$$\nabla^2 \mathbf{u} = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u}) - \boldsymbol{\nabla}\times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{u}) \tag{1}$$ lo cual es realmente engorroso de manejar por la fuerza bruta. Una forma inteligente de evitar todas las molestias es usar el ansatz $$\mathbf{u} = \mathbf{r} \times (\boldsymbol{\nabla} \psi) \tag{2}$$ dónde$\psi$satisface la ecuación escalar de Helmholtz $$(\nabla^2 + k^2) \psi = 0.$$

para comprobar eso$(\nabla^2 + k^2) \mathbf{u} = 0$usted mismo tiene que enchufar el ansatz$(2)$en$(1)$y hacer uso de muchas identidades vectoriales y la ecuación escalar de Helmholtz. El cálculo es bastante complicado, así que le indicaré que consulte los Fundamentos de la teoría electromagnética de Reitz, Milford y Christy , allí hacen el cálculo completo. con ansatz$(2)$probado, es solo cuestión de conectar el modo relevante$\psi_{lm}$en la ec.$(2)$que obtengas tu solución$\mathbf{u}_{lm}$.