Solución general a la ecuación de onda en 1+1D

Question

Solución general a la ecuación de onda en 1+1D

ondas
Física
cálculo
ecuaciones diferenciales

PolinomioC

En un libro que estoy leyendo dice,

$y(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)$ es una solución a la ecuación de onda unidimensional,

Pero al diferenciar con respecto al tiempo y $x$ dos veces llego a:

\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}} + v^{2} \frac{\partial^{2} gramo}{\partial t^{2}}

$\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2f}{\partial t^2} + v^2\frac{\partial^2g}{\partial t^2}$

\frac{\partial^{2} y}{\partial X^{2}} = \frac{\partial^{2} F}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} gramo}{\partial X^{2}}

$\frac{\partial^2y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2g}{\partial x^2}$

¿Cómo puede esto resolver la ecuación de onda si tiene diferentes diferenciales en cada lado de la ecuación?

PolinomioC

Tienes razón, gracias por señalarlo.

Respuestas (3)

Solución general a la ecuación de onda en 1+1D

Sean E. Lago · Answer 1

Respuesta corta: te estás haciendo tropezar con la notación.

\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} F \neq v^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}} .

$\frac{\partial^2}{\partial t^2} f \neq v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}.$ Es mejor recurrir a la notación de Newton aquí:

\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}} = v^{2} F^{″} (X + v t)

$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 f''(x+vt)$ o, si debe ceñirse a la notación de Leibniz,

\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial (X + v t)^{2}} .

$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2 f}{\partial (x+vt)^2}.$

G. Smith · Answer 2

Piensa en ello como $y=f(u)+g(v)$ dónde $u=x+vt$ y $v=x-vt$ . Ahora saca las derivadas usando la regla de la cadena. Verás que el segundo $x$ y $t$ derivadas están relacionadas por un factor de $v^2$ .

fbgenger · Answer 3

De hecho, esta es una solución general a la ecuación de onda. Tanto f como g pueden ser la solución, su combinación también es otra solución. Podemos mostrar eso usando la solución de D'Alembert. Dijiste que ambos lados tienen diferentes diferenciales. Ahora, si tomamos diferentes parámetros que dependen de x y t como en la respuesta anterior, podemos encontrar las mismas derivadas en ambos lados.

Echemos $a = x+vt$ y $b = x-vt$ . Ahora a y b son ambas funciones de $x$ y $t$ , $a = a(x,t), b = b(x,t)$ .

Ahora $y(x,t)$ puede escribirse en términos de funciones de $a$ y $b$ .

Y definir una nueva función que es $\widetilde{y}(a,b) = y(x(a,b),t(a,b))$ .

volviendo de $\widetilde{y}$ también es posible. $y(x,t) = \widetilde{y}(a(x,t),b(x,t))$ , simplemente coloque x y t en lugar de a y b.

Ahora, usando la relación anterior, tomemos una derivada

\frac{\partial y}{\partial X} = \frac{\partial \tilde{y}}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial X} + \frac{\partial \tilde{y}}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial X}

$\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial\widetilde{y}}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial \widetilde{y}}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial x}$

pero sabemos que

\frac{\partial a}{\partial X} = \frac{\partial b}{\partial X} = 1

$\frac{\partial a}{\partial x} = \frac{\partial b}{\partial x} = 1$ La segunda derivada se convierte en

\frac{\partial^{2} y}{\partial X^{2}} = (\frac{\partial}{\partial a} + \frac{\partial}{\partial b}) (\frac{\partial}{\partial a} + \frac{\partial}{\partial b}) \tilde{y} = \frac{\partial^{2} \tilde{y}}{\partial a^{2}} + \frac{\partial^{2} \tilde{y}}{\partial b^{2}} + 2 \frac{\partial^{2} \tilde{y}}{\partial a \partial b}

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = (\frac{\partial }{\partial a} + \frac{\partial }{\partial b})(\frac{\partial }{\partial a} + \frac{\partial }{\partial b})\widetilde{y} \\ = \frac{\partial^2 \widetilde{y}}{\partial a^2} + \frac{\partial^2 \widetilde{y}}{\partial b^2} + 2\frac{\partial^2 \widetilde{y}}{\partial a \partial b}$ De la misma manera,

\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} (\frac{\partial^{2} \tilde{y}}{\partial a^{2}} + \frac{\partial^{2} \tilde{y}}{\partial b^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} \tilde{y}}{\partial a \partial b})

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2(\frac{\partial^2 \widetilde{y}}{\partial a^2} + \frac{\partial^2 \widetilde{y}}{\partial b^2} - 2\frac{\partial^2 \widetilde{y}}{\partial a \partial b})$

Si ponemos estas ecuaciones en nuestra ecuación de onda (simplemente restamos una de la otra) obtenemos

\frac{\partial^{2} \tilde{y}}{\partial a \partial b} = 0

$\frac{\partial^2 \widetilde{y}}{\partial a \partial b} = 0$ Esta ecuación nos dice que la derivada de

\tilde{y}

$\widetilde{y}$ con respecto a a no depende de b, o viceversa. Por lo tanto, podemos escribir

\tilde{y}

$\widetilde{y}$ como

\tilde{y} (a, b) = F (a) + gramo (b)

$\widetilde{y}(a,b) = f(a) + g(b)$ donde f y g son algunas funciones arbitrarias. Simplemente coloque x y t en lugar de a y b para obtener y.

y (X, t) = F (X + v t) + gramo (X - v t)

${y}(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)$

Así que acabamos de encontrar nuestra solución general. También puede encontrar más información sobre su historia 1D Wave Equation .

Solución general a la ecuación de onda en 1+1D

PolinomioC

PolinomioC

Respuestas (3)

Sean E. Lago

G. Smith

fbgenger

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