Intuición física sobre la integral contenida en la Fórmula de D'Alembert para la ecuación de onda

Question

Intuición física sobre la integral contenida en la Fórmula de D'Alembert para la ecuación de onda

ondas
Física
onda plana
integración
condiciones de borde
física-matemática

usuario45664

Si $\phi(t,x)$ es una solución a la ecuación de onda unidimensional y si las condiciones iniciales $\phi(0,x)$ y $\phi_t(0,x)$ se dan, entonces la fórmula de D'Alembert da

\begin{matrix} (1) & ϕ (t, X) = \frac{1}{2} [ϕ (0, X - C t) + ϕ (0, X + C t)] + \frac{1}{2 C} \int_{X - C t}^{X + C t} ϕ_{t} (0, y) d y . \end{matrix}

$\phi(t,x)= \frac 12[ \phi(0,x-ct)+ \phi(0,x+ct) ]+ \frac1{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \phi_t(0,y)dy . \tag{1}$

Alquiler $g(x)=\phi(0,x)$ y $h(x)= \phi_t(0,x)$ (con $c=1$ , entonces $ct=t$ ) esto se escribe comúnmente

\begin{matrix} (2) & ϕ (t, X) = \frac{1}{2} [gramo (X - t) + gramo (X + t)] + \frac{1}{2} \int_{X - t}^{X + t} h (y) d y . \end{matrix}

$\phi(t,x)= \frac 12[ g(x-t)+ g(x+t) ]+ \frac12 \int_{x-t}^{x+t} h(y)dy . \tag{2}$

Mi pregunta:
¿Cuál es el significado físicamente intuitivo del término integral?
Por ejemplo, ¿por qué $\phi_t$ aparecen en la integral mientras que $\phi$ aparece en las ondas hacia adelante y hacia atrás? ¿Por qué la integral tiene esos límites específicos de integración (y región de integración) para $h$ mientras $g$ usa solo los puntos finales, $x+ct,x-ct$ ? ¿Hay ejemplos con funciones específicas para $\phi$ que ayudaría a entender esto?

Referencias:

http://mathworld.wolfram.com/dAlembertsSolution.html
https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula
http://www.jirka.org/diffyqs/htmlver/diffyqsse32.html
http:/ /people.uncw.edu/hermanr/pde1/dAlembert/dAlembert.htm

math.ualberta.ca 337week0405.pdf después de la ecuación 180.

stanford univ waveequation3.pdf página 4 Lema 3 y página 5.

math.nist.gov evolution.pdf página 537

math.usask.ca lamoureax_michael.pdf página 19.

universidad de penn. m425-dalembert-2.pdf primeras tres páginas.

universidad de mal en urbana 286-dalemb.pdf

"Funciones generalizadas, vol 1", IM Gelfand, GE Shilov, página 114

"Matemáticas para las Ciencias Físicas", L. Schwartz, páginas 253-257

"La teoría matemática del movimiento ondulatorio", GR Baldock, T. Bridgeman, páginas 40-45

De estos, por ejemplo, sé que para una cadena $\phi_t(0,y)$ representa la velocidad en el tiempo cero, pero ¿por qué física (e intuitivamente) termina en la integral? o lo sé $(x+ct),(x-ct)$ definir las aristas de un cono con vértice en $(x,t)$ que forman el límite de la región del argumento de $h$ dónde $h$ puede efectuar $\phi(t,x)$ , pero ¿por qué la integral tiene esos límites específicos de integración para $h$ mientras $g$ usa solo los puntos finales, $x+ct,x-ct$ ?

gentil

¿Qué quiere decir con "cuál es el significado físico de ..." : es una ecuación diferencial, y siendo

ϕ_{t} (0, x)

$\phi_t(0,x)$ un derivado, por supuesto, tiene que ser integrado de nuevo para verificar las condiciones iniciales.

usuario45664

@Gennaro; ¿Por qué físicamente la solución depende de la integral de todos los valores de

ϕ_{t} (0, x)

$\phi_t(0,x)$ se encuentra entre x-1 y x+1? Entiendo que matemáticamente se requiere para satisfacer las condiciones iniciales.

gentil

Bueno, dado que las variables en las funciones son

(x - t)

$(x-t)$ y

(x + t)

$(x+t)$ obviamente aparecen como valores límite. Si sigue la derivación del enlace que publicó usted mismo, es sencillo.

knzhou

Creo que los votantes negativos estaban pensando "por supuesto que no tiene sentido, es solo una ecuación horrible". Desearía que la gente no hiciera eso: ¡hay una explicación física para casi todo!

Respuestas (1)

Intuición física sobre la integral contenida en la Fórmula de D'Alembert para la ecuación de onda

¿Qué quiere decir con "cuál es el significado físico de ..." : es una ecuación diferencial, y siendo $\phi_t(0,x)$ un derivado, por supuesto, tiene que ser integrado de nuevo para verificar las condiciones iniciales.
@Gennaro; ¿Por qué físicamente la solución depende de la integral de todos los valores de $\phi_t(0,x)$ se encuentra entre x-1 y x+1? Entiendo que matemáticamente se requiere para satisfacer las condiciones iniciales.
Bueno, dado que las variables en las funciones son $(x-t)$ y $(x+t)$ obviamente aparecen como valores límite. Si sigue la derivación del enlace que publicó usted mismo, es sencillo.
Creo que los votantes negativos estaban pensando "por supuesto que no tiene sentido, es solo una ecuación horrible". Desearía que la gente no hiciera eso: ¡hay una explicación física para casi todo!
Pregunta relacionada de OP physics.stackexchange.com/q/268740
Pregunta relacionada de OP math.stackexchange.com/q/1883836/147776

knzhou · Answer 1

La solución de D'Alembert tiene una interpretación simple. Usando su notación, se lee

ϕ (X, t) = \frac{gramo (X - t) + gramo (X + t)}{2} + \frac{1}{2} \int_{X - t}^{X + t} h (X^{'}) d X^{'} .

$\phi(x, t) = \frac{g(x-t) + g(x+t)}{2} + \frac12 \int_{x-t}^{x+t} h(x') dx'.$ dónde

g (x)

$g(x)$ es la posición inicial,

h (x)

$h(x)$ es la velocidad inicial, y

v = 1

$v = 1$ .

Matemáticamente, el primer término anterior resuelve la ecuación de onda con posición inicial $g(x)$ pero velocidad inicial cero, mientras que el segundo término hace lo mismo para posición inicial cero y velocidad inicial $h(x)$ . Por el principio de superposición, su suma tiene posición inicial $g(x)$ y velocidad inicial $h(x)$ , y por lo tanto es igual a $\phi(x, t)$ para todos los tiempos

Podemos entender cada uno de estos términos individuales por intuición física.

Primero considere el término para la posición inicial $g(x)$ . Sabemos que todas las soluciones de la ecuación de onda son una combinación lineal de funciones de la forma $f(x\pm t)$ , por lo que las únicas cosas que podemos usar son $g(x+t)$ y $g(x-t)$ , que ambos tienen la posición inicial correcta. Finalmente, notamos que promediarlos produce una velocidad inicial cero por la regla de la cadena. Intuitivamente, si sostienes una cuerda y la sueltas, harás ondas del mismo tamaño en ambas direcciones.

A continuación, considere el término para la velocidad inicial $h(x)$ . Para entenderlo, considere la siguiente pregunta más simple: suponga $h(x)$ es cero en todas partes excepto por un pico agudo en $x = 0$ , correspondiente a nosotros golpeando la cuerda allí en el momento $t = 0$ . ¿Cuál es la forma resultante?

Físicamente, esperamos que una 'onda de choque' se propague hacia afuera a partir de este evento. Resolviendo la ecuación de onda usando una técnica similar a la del párrafo anterior, encontramos

y (X, t) = \frac{1}{2} (θ (X + t) - θ (X - t)) .

$y(x, t) = \frac12\left( \theta(x+t) - \theta(x-t) \right).$ Es decir, todo lo que está dentro del "cono de luz" de

(x, t) = (0, 0)

$(x, t) = (0, 0)$ ha sido levantado por

1 / 2

$1/2$ .

para un general $h(t)$ , entonces, la solución es integrar este $1/2$ sobre todos los conos de luz que podrían haber afectado el punto $(x, t)$ . Los límites de este cono de luz son $x-t$ y $x+t$ , dando el término

\frac{1}{2} \int_{X - t}^{X + t} h (X^{'}) d X^{'}

$\frac12 \int_{x-t}^{x+t} h(x') dx'$ de acuerdo con la fórmula.

¿No hay un solo cono de luz? -- el hacia atrás con el vértice en el punto (x,t). Todavía estoy tratando de entender la geometría física. Si solo hay uno, ¿la integral se toma sobre el segmento del eje x que se encuentra entre (x-1) y (x+1)? :)
@ user45664 Ah, debería haber expresado esto mejor. Puede pensar en una velocidad inicial general como la suma de picos individuales en cada punto. Cada uno de esos picos tiene un cono de luz asociado. Entonces, la integral en mi respuesta es sobre diferentes conos de luz que contribuyen a un solo punto, no sobre el intervalo correspondiente a un solo cono de luz.
Aún estoy digiriendo esto (creo que entiendo lo que acabas de decir). si en el primer comentario dijera (x',t') en lugar de (x,t), ¿entonces solo habría un cono de luz (con vértice en x',t')? Estoy pensando en el cono de luz que se origina en el 'punto de observación' (x',t') en lugar de en los puntos a lo largo del eje x que llevan la velocidad inicial t=0 (es decir, el soporte de h). Estoy viendo una figura en "Matemáticas para las Ciencias Físicas", Laurent Schwartz, p.254 que muestra ese cono de luz :) (:
@ user45664 Tiene razón, ¡los dos enfoques son equivalentes! Sin embargo, en cualquier caso, la imagen física es la misma: la integral es sobre el "pasado causal" de (x,t).
Necesito trabajar un poco en esto, supongo que su pico se puede modelar como $\delta(x)\delta(t)$ ? volveré más tarde :)
@user45664 Es $\delta(x)$ en el momento inicial, después de eso es más complicado.
Respuesta absolutamente excepcional: ¡aceptada! (esperaba otras respuestas) Consulte mi pregunta relacionada math.stackexchange.com/q/1883836/147776 . Todavía no entiendo completamente la integral: por ejemplo. como por qué es $h$ no también integrado en el tiempo ya que es velocidad y queremos desplazamiento. El 1/c en mi eq. 1 corrige las dimensiones, pero todavía no lo entiendo, ¿los límites en la integral, x + -ct, proporcionan esta función? :)

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