Fourier transformando la ecuación de onda dos veces

La ecuación de onda

$$\nabla^2 u(r,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(r,t)=0$$ puede ser transformada de Fourier con respecto al tiempo , usando $\frac{\partial}{\partial t}=i\omega$, para obtener la ecuación de Helmholtz : $$\nabla^2 u(r,\omega)+\frac{\omega^2}{c^2}u(r,\omega)=0\,.$$ Lo que no entiendo es qué sucede si la transformada de Fourier es posteriormente con respecto al espacio : $$-k^2 u(k,\omega)+\frac{\omega^2}{c^2}u(k,\omega)=0\,,$$ ya que ahora obtenemos $$\left(-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}\right)u(k,\omega)=0\,.$$ Si esto debe ser válido para todos $k$y todo $\omega$, la solución es la función cero, ¿verdad?