Ecuaciones de onda: cómo obtener una solución real a partir de raíces imaginarias

Estoy tratando de seguir la derivación sobre cómo resolver la ecuación de Laplace utilizada en mi curso de dinámica de fluidos. Estamos tratando de resolver el potencial de velocidad en la teoría del potencial. Hasta ahora tenemos esto:

Φ = F 1 ( z ) ( b 1 mi i ( ω t + k X ) + b 2 mi i ( ω t − k X ) )

Aquí F 1 es solo una función en la coordenada z , y b 1 y b 2 son constantes arbitrarias. Mi maestro ahora dice:

Solo nos interesan las ondas que viajan hacia la derecha en la dirección x positiva. Obtenemos por tanto:

F 1 b 2 pecado ⁡ ( ω t − k X )

¿Cómo puede decir eso? Parece que solo toma una de las soluciones complejas, pero ¿se le permite tomar solo la parte imaginaria de eso? ¿No se supone que debe simplificar la parte compleja?

Bueno, ella simplificó las cosas complejas: dijo que él solo quería la parte de la solución general que era una onda que viajaba hacia la derecha, y esa es la parte que ella escogió. Sí, hay otras partes, pero no son ondas que se propagan hacia la derecha.

Respuestas (1)

La ecuación de Laplace ∇ 2 ψ = 0 es una ecuación diferencial lineal. Ahora tenga en cuenta que si ϕ es real, entonces también lo es ∇ 2 ϕ . Además, por la linealidad de la ecuación, si ϕ es real, entonces i ϕ es pura imaginación, y también lo es ∇ 2 ( i ϕ ) = i ∇ 2 ( ϕ ) .

Bien, volviendo a tu situación. Digamos que la solución es ϕ 1 + i ϕ 2 verdadero ϕ 1 y ϕ 2 . Entonces el primer término da una contribución real a la RHS, y el segundo da una totalmente imaginaria. Como sabemos que el RHS tiene que ser cero (es decir, tanto la parte real cero como la parte imaginaria cero), ambas contribuciones deben ser cero, lo que significa que ambas ϕ 1 y ϕ 2 ellos mismos resuelven la ecuación. Así que podemos tomar ϕ 1 .

La idea general aquí es que las partes real e imaginaria son independientes, por lo que puedes separarlas cuando quieras. Esto no es cierto para ninguna ecuación diferencial que contenga números complejos, como la de Schrödinger, pero sí funciona para todas las demás ecuaciones diferenciales lineales, así que verás este truco mucho. Desafortunadamente, dado que es un truco tan común, a veces la gente no se molesta en explicarlo.

Ahh está bien, creo que veo el punto. Entonces, debido a que la ecuación diferencial es lineal, la solución general total se compone de combinaciones lineales de las soluciones individuales y, por lo tanto, podemos elegir la que queremos porque sabemos que esto solo también es una solución.
¡Sí! Excepto por la advertencia en el último párrafo (no funciona cuando la ecuación misma mezcla las partes real e imaginaria).
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