Significado físico de dos ecuaciones de ondas de velocidad variable diferentes

Question

Significado físico de dos ecuaciones de ondas de velocidad variable diferentes

ondas
Física
ecuaciones diferenciales

wapití

A partir de aquí , hay (al menos) dos ecuaciones de onda diferentes con velocidad de onda variable.

Cualquiera $c^2(x)$ está fuera del laplaciano:

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} {tu}_{t t} - C^{2} (X) Δ tu = 0 en R \times R^{norte} \\ tu (0, X) = F (X); {tu}_{t} (0, X) = gramo (X) . \end{cases} \end{matrix}

$\begin{cases}u_{tt} - c^2(x) \Delta u = 0 \quad \textrm{ in } \mathbb R \times \mathbb R^n \\ u(0,x) = f(x); \quad u_t(0,x)= g(x). \end{cases}\tag{1}$ o

c^{2} (x)

$c^2(x)$ está entre las dos nablas:

\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} {tu}_{t t} - \nabla \cdot (C^{2} (X) \nabla tu) = 0 en R \times R^{norte} \\ tu (0, X) = F (X); {tu}_{t} (0, X) = gramo (X) . \end{cases} \end{matrix}

$\begin{cases}u_{tt} - \nabla\cdot(c^2(x)\nabla u) = 0 \quad \textrm{ in } \mathbb R \times \mathbb R^n \\ u(0,x) = f(x); \quad u_t(0,x)= g(x). \end{cases}\tag{2}$ Mi pregunta es, ¿cuáles son las diferencias en la ubicación de

c^{2} (x)

$c^2(x)$ representan realmente? ¿Cuál es el significado físico que distingue estas dos ecuaciones?

Respuestas (2)

Significado físico de dos ecuaciones de ondas de velocidad variable diferentes

qmecanico · Answer 1

Considere por simplicidad 1+1D:

\begin{matrix} (A) & ρ (X) \ddot{tu} = \frac{\partial}{\partial X} (Y (X) \frac{\partial tu}{\partial X}) . \end{matrix}

$\rho(x) \ddot{u} ~= ~\frac{\partial}{\partial x}( Y(x) \frac{\partial u}{\partial x}).\tag{A}$ ecuación (A) es la ecuación diferencial para deformaciones lineales en un sólido con densidad de masa no uniforme

ρ (x)

$\rho(x)$ y módulo de elasticidad no uniforme

Y (x)

$Y(x)$ . Dos casos especiales de eq. (Un uniforme

Y

$Y$ contra uniforme

ρ

$\rho$ ] produce las ecuaciones de OP. (1) y (2) en 1+1D, respectivamente.

¿Qué casos especiales y cuáles son sus significados físicos? Esa es mi pregunta. Sin embargo, esto definitivamente es útil, porque probablemente ahora pueda deducir la respuesta yo mismo.
Eso es fantástico. Nunca sospeché que la variabilidad se debía a cantidades físicas completamente diferentes.

yo soy · Answer 2

Ambas ecuaciones pueden describir fenómenos físicos. La ubicación de $c²(x)$ representa diferentes relaciones físicas, es decir, lo más probable es que se mantengan para diferentes $u(t,x)$ .

Este documento: Homogeneización de la ecuación de onda de velocidad variable contiene información valiosa sobre el tema. Allí también encontrará los siguientes ejemplos: La ecuación que nombra (1) surge de las ecuaciones EM de Maxwell en una dimensión. La ecuación (2) describe, entre otros fenómenos, las ondas de agua superficial.

Otro punto importante es que las dos ecuaciones están conectadas y pueden transformarse una en otra. Encontrará información sobre esto en el documento que vinculé también.

Gracias, conozco ese documento y lo he estado leyendo estos últimos días. Es en parte lo que me ha llevado a hacer la pregunta. Dices la ubicación de $c^2(x)$ describe diferentes relaciones físicas... sí, pero ¿cuáles son? Esa es mi pregunta.
¿Qué quieres decir con "¿Qué son?" Matemáticamente, son lo que se describe en su pregunta. Físicamente, se refieren a diferentes fenómenos que ocurren en la naturaleza como los mencionados en el artículo.

Significado físico de dos ecuaciones de ondas de velocidad variable diferentes

wapití

Respuestas (2)

qmecanico

wapití

qmecanico

wapití

yo soy

wapití

yo soy

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