La declaración de Feynman del Principio de Fermat con respecto a la óptica es la siguiente,
"un rayo que va en un cierto camino particular tiene la propiedad de que si hacemos un pequeño cambio (digamos un cambio del uno por ciento) en el rayo de cualquier manera, digamos en la ubicación en la que llega al espejo, o la forma de la curva, o cualquier cosa, no habrá un cambio de primer orden en el tiempo, solo habrá un cambio de segundo orden en el tiempo. En otras palabras, el principio es que la luz toma un camino tal que hay muchos otros caminos cercanas que toman casi exactamente el mismo tiempo".
Cita tomada de http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_26.html
Mi pregunta es esta, ¿este principio no se aplica a cualquier camino, sensato o loco, entre dos puntos? Para cada camino posible, ¿no hay "muchos otros caminos cercanos que toman casi el mismo tiempo?"
No puedo ver por qué hay caminos limitados para los que se aplica el principio de Fermat, ya que puedo imaginarme creando muchas pequeñas variaciones "cercanas" en cualquier camino, lo que lleva a un pequeño cambio en el tiempo necesario para recorrerlos.
¿Por qué hay rutas limitadas que solo tienen cambios de "segundo orden" en el tiempo cuando se aplican pequeñas variaciones?
Si tengo una pelota rodando en algún tipo de conjunto loco de colinas y valles, ¿dónde va a querer sentarse la pelota? Podrías decir inmediatamente "¡en el fondo de un valle, por supuesto!" Pero reformulemos eso.
Podemos hacer un enunciado equivalente diciendo que una pelota prefiere asentarse donde, si la perturbáramos ligeramente, el cambio en la altura (o el potencial) es solo de segundo orden en la perturbación. Solo hay unos pocos puntos especiales en los que esto ocurre, y son puntos máximos/mínimos/silla de montar de cualquier potencial loco que hayas evocado. Para reformular esto a la Feynman, "una partícula en un potencial se asentará en una posición en la que todos los lugares vecinos tienen casi exactamente el mismo potencial".
Este es exactamente el mismo razonamiento que aplica Feynman. Al decir que el tiempo que tardan los caminos vecinos es casi exactamente el mismo, quiere decir que la variación en el tiempo es, en el mejor de los casos, de segundo orden en la variación del camino. Esto no puede ocurrir excepto en trayectorias muy especiales, al igual que la pelota no puede asentarse en cualquier lugar.
En términos matemáticos, la condición de Feynman de que "no habrá cambios de primer orden" es la condición de que las derivadas de primer orden ( funcionales/variacionales ) desaparezcan. Para rutas genéricas, esta condición no se cumple; sólo para trayectos estacionarios .
Frobenius