Pregunta del principio de Fermat

Para el grupo I, la longitud total del camino de S a P es casi la misma: donde la línea 1 es un poco más corta desde S hasta el reflejo, se compensa casi exactamente por el hecho de que el segmento espejo-P es más largo.

Por otro lado, para el grupo II, la longitud del camino desde S hasta el espejo es casi la misma para los tres rayos; sin embargo, hay una diferencia en la longitud del camino del espejo a P.

La dirección del vector es el resultado de la distancia total. Los cambios en la ubicación del ángulo cerca del centro no contribuyen mucho a los cambios en la distancia total.

Los pequeños cambios se magnifican cuando la ubicación del reflejo está lejos del punto central. Por lo tanto, un cambio de ubicación igual da como resultado un cambio de distancia total mayor cuando la ubicación de la reflexión está más alejada del centro. Esta mayor diferencia significa que los vectores resultantes pueden estar en direcciones muy diferentes, dependiendo de la longitud de onda.

Primero recuerde a continuación una hermosa prueba geométrica de la ley de la reflexión, es decir, ángulo entrante = ángulo saliente usando el principio de Fermat al invertir el camino saliente en el plano del espejo:

$\uparrow$Fig. 1 La ley de la reflexión. El camino más corto entre$A$y el punto del espejo$B'$es una línea recta. (Imagen del sitio web quantapublication.wordpress.com ).

Obviamente, el camino más corto es una línea recta. O de manera equivalente, la línea recta es un punto estacionario de longitudes de camino en el conjunto de todos los caminos.

1. Por un lado, las longitudes de los caminos vecinos a la línea recta solo pueden variar en el segundo orden de la deformación. Por lo tanto, todos los fasores correspondientes apuntan aproximadamente en la misma dirección, y su suma se suma, cf. grupo-I en la Fig. (b).

2. Por otro lado, lejos de un punto estacionario, la longitud del camino de los caminos vecinos típicamente varía linealmente en la deformación. Los fasores correspondientes apuntan en direcciones muy diferentes, y su suma generalmente se cancela, cf. grupo-II en la Fig. (b).

Debe enfatizarse que la observación anterior es el núcleo de por qué la integral de trayectoria está dominada por trayectorias clásicas, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.