El principio de Fermat dice que un rayo de luz seguirá un camino desde el punto apuntar de modo que la longitud del camino óptico de este camino es un extremo sobre los caminos vecinos.
Quería usar este principio para probar la ley de la reflexión. Hacen esto fi aquí: http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph5B/fermat09.pdf (el pdf también se puede encontrar al buscar en Google "El principio de Fermat y las leyes de reflexión y refracción"). Muestran que el camino donde es de hecho un mínimo sobre caminos vecinos en el mismo plano que también se reflejan en el espejo. Pero realmente no veo cómo esta prueba está completa, porque puedo imaginar fácilmente un camino de A a B, que se desvía solo infinitesimalmente del camino que se refleja en el espejo, que tiene una longitud de camino óptico más corta. Por ejemplo un camino que se refleja ante el espejo. Por esto no me parece que el camino sea realmente un mínimo sobre todos los caminos vecinos, solo hemos probado que es sobre algunos caminos vecinos.
Así que supongo que me estoy perdiendo algo aquí y espero que alguien pueda explicarme.
Tienes un buen punto que requiere que seamos más cuidadosos con lo que dice el Principio de Fermat y cómo procede la prueba. El resultado de lo que voy a decir es
La declaración de la Ley de Reflexión debe incluir una restricción adecuada.
Esto es lo que quiero decir en detalle. Primero, demos una declaración precisa del Principio de Fermat:
Principio de Fermat. Dejar denota el conjunto de todos los segmentos de curva continuos en tres dimensiones. Deja puntos y en tres dimensiones. Suponga que un rayo de luz comienza en el punto y termina en el punto , y suponga que la trayectoria del rayo de luz está restringida para no estar en algún subconjunto , entonces el camino que toma la luz entre y es un punto crítico del tiempo de viaje funcional para cualquier variación de caminos contenidos en el conjunto .
Podemos usar este principio para probar cualquiera de las siguientes dos afirmaciones, las tres de las cuales uno podría estar inclinado a llamar la Ley de Reflexión.
Ley de reflexión 1. Si la luz se emite en una dirección dada hacia un espejo, entonces (i) la luz viajará en línea recta hacia el espejo en la dirección inicial, (ii) golpeará el espejo, (iii) se reflejará en línea recta, y (iv) el ángulo de incidencia será igual al ángulo de reflexión.
Ley de reflexión 2. Si la luz se emite desde un punto por encima de un espejo, y si la luz entra en contacto con el espejo, entonces (i) la luz viajará en línea recta desde su punto inicial hasta el punto de contacto, (ii ) se reflejará en línea recta, y (iii) el ángulo de incidencia será igual al ángulo de reflexión.
Tenga en cuenta que en ambos casos, hay una restricción que se debe tener en cuenta al determinar la ruta de menor tiempo. En la primera declaración anterior, el conjunto de restricciones es el conjunto de todos los caminos continuos cuyas direcciones iniciales no coinciden con la dirección inicial especificada. En el segundo enunciado de la Ley, el conjunto de restricciones es el conjunto de todos los caminos continuos que no hacen contacto con el espejo.
Tenga en cuenta que si no incluye una restricción, y si simplemente elige dos puntos sobre el espejo, entonces, por supuesto, el Principio de Fermat le dice que el camino seguido por la luz es el segmento de línea recta que une esos dos puntos. Pero eso está bien, porque la Ley de Reflexión no responde a la pregunta "dados dos puntos y encima de un espejo, y dado que un rayo de luz va desde a , ¿cuál es el camino que debe tomar el rayo de luz?" De hecho, esta pregunta no tiene una respuesta única. La respuesta depende de las restricciones.
qmecanico