Respuesta

El rayo en rojo es el camino más corto si y solo si$\theta_I=\theta_R$y la luz solo viaja en ese camino para llegar al punto B a través del espejo.

No es un mínimo local, porque el camino más corto, por supuesto, es una línea recta que conecta$A$y$B$.

línea roja con$\theta_I = \theta_R$es una curva estacionaria del grupo de curvas que pasan por A, B y un punto (s) en el espejo.

cosas extra

En un caso elipsoidal , tienes tres puntos

$O$-$D$-$O$

¿Cuál es el camino más corto que conecta$O$,$D$y de vuelta a$O$? por supuesto, es una línea recta que va desde$O$a$D$y luego de vuelta a$O$. Aunque el tiempo viaje desde$O$a$O$es máximo, para el camino particular,$O$-$D$-$O$, la luz elige el camino de tal manera que el tiempo que recorre es el mínimo.

En el ejemplo del espejo, el problema que está en cuestión no es el camino mínimo entre dos puntos ($A$y$B$). la verdadera pregunta es

¿Dónde está un punto en el espejo?$P$, tal que si conectas$A$-$P$-$B$, te da la distancia minima?

Luego puede hacer un argumento como se representa en la página de wikibook para encontrar el punto$P$.

Resulta que, empíricamente, tenemos suficientes datos y ejemplos para concluir que la luz recorre ese camino (el camino en el que la luz viaja es el menor).

Sí, en el ejemplo del espejo, la fuente de luz puede ser una bombilla, y la luz de la bombilla puede viajar completamente opuesta a B, reflejarse en la pared de la habitación, rebotar 1000000 veces y finalmente llegar al punto B. Claro. de esta manera toma la mayor parte del tiempo.
Sin embargo, el camino que ha tomado la luz es el camino que conecta los 1000000 puntos de reflexión y le da a la luz un tiempo mínimo para viajar.

Espero eso ayude.

El espejo no está bien dibujado. Los ángulos deben ser iguales.

Pero es un mínimo local. El principio de Fermat dice tiempo mínimo. Si el rayo permanece en un medio, viaja a velocidad constante. El tiempo mínimo es la distancia mínima. Es decir, hay muchos caminos desde A hasta el espejo y B. El camino que toma un rayo elige el punto del espejo que tiene el camino más corto.

Puedes verlo así:

Al igual que con Fermat, la luz no "elegirá" un camino más largo, ya que eso violaría el principio de acción mínima de Feynman. Simplemente no sucede.