¿Cuál es la forma correcta de entender el principio de Fermat?

Lo siguiente puede ser útil. La clave a tener en cuenta es que también debe incluir los "dos puntos" entre los que viaja el rayo. Si configura el problema incluyendo estos dos puntos, uno dentro del medio más denso y otro dentro del medio más raro, entonces el argumento sigue.

Espero que esto ayude.

El principio de Fermat es una forma de racionalizar la curvatura de un rayo de luz (u otras ondas como el sonido o las ondas sísmicas que tienen frentes de onda bien definidos) que viaja del punto A al punto B cuando atraviesa un límite entre regiones de dos índices de refracción diferentes. . Como resumió correctamente en la primera parte de su publicación, el rayo de luz se dobla hacia la normal cuando se mueve de una región de mayor velocidad a una región de menor velocidad.

En respuesta a los detalles de su pregunta, si imagina que el rayo de luz se mueve en la dirección inversa (del punto B al punto A) con la luz moviéndose de una región de menor velocidad a una mayor velocidad, verá que la luz se dobla en sentido inverso. camino a medida que vuelve sobre el camino que tomó, que se aleja de lo normal. Esta simetría es evidente en la Ley de Snell

$$n_{1} \sin (\theta _{\rm incidence }) = n_{2} \sin (\theta _{\rm refraction })$$

ya que la ecuación se aplica para ambas direcciones de trayectoria.

Es importante reconocer que hay dos tipos diferentes de rutas mínimas (distancia mínima y tiempo de tránsito mínimo). El camino más corto por distancia es una línea recta, pero el camino más corto por tiempo es el camino doblado, que es el que siguen las ondas. Como una ecuación:

$$time_{transit} = \frac{distance{_{1}}}{velocity _{1}} + \frac{distance{_{2}}}{velocity _{2}}$$

tiene un valor mínimo a lo largo de un camino doblado.

Esto también ha sido explorado por un profesor de matemáticas que paseaba a su perro por la playa y tiraba una pelota de tenis al agua. El perro corrió a mayor velocidad en la arena que en el agua. El profesor observó que su perro tomó un camino torcido que estaba cerca del camino mínimo calculado predicho por la Ley de Snell, en lugar de perseguir la pelota a lo largo del camino de distancia mínima.

• TJ Pennings, "¿Los perros saben cálculo?", Coll. Matemáticas. J. 34:3, 178-182 (2003) .

Resolví este problema hace algún tiempo e incluyo un diagrama del análisis principal. La primera imagen muestra el cálculo del tiempo de tránsito por la recta, con velocidad del perro en la arena (5 m/s) > velocidad del perro en el agua (0,5 m/s). El perro está inicialmente a 4 m del agua y la pelota está a 12 m de la arena. Hice estos números.

La segunda imagen muestra el cálculo de la distancia que debe correr el perro sobre la arena antes de pasar al agua para tomar el camino de mínimo tiempo de tránsito.

La tercera imagen muestra el cálculo del tiempo mínimo de viaje a partir de la geometría calculada en la segunda figura.

También incluyo una captura de pantalla de un análisis de hoja de cálculo donde verifiqué que la ruta calculada tiene el tiempo de tránsito mínimo entre muchas alternativas de ruta que varían entre la distancia d a lo largo de la arena antes de ingresar al agua:

Hay una forma completamente independiente de derivar la Ley de Snell a partir de frentes de onda que he ilustrado en un diagrama para otra pregunta:

¿Puede un frente de onda de luz estrecharse o ensancharse en refracción, y qué significa esto realmente para la luz?