¿Cómo calcular la trayectoria de la luz refractada cuando el índice de refracción aumenta continuamente?

Question

¿Cómo calcular la trayectoria de la luz refractada cuando el índice de refracción aumenta continuamente?

óptica
Física
refracción
óptica-geométrica
principio variacional

LCFactorización

Supongamos que una luz incidente del vacío ( $n_1=1.0$ ) en algunos medios ( $n_2=n_1+\mu\; x^2$ ) como en la siguiente figura.

¿Cómo calcular la curva de la trayectoria de la luz refractada en forma cerrada?

ingrese la descripción de la imagen aquí

Actualizar:

Intente establecer una ecuación diferencial ordinaria para la trayectoria de la luz refractada según la ley de Snell.

Supongamos que la curva es $y=y(x)$ ;

Desde $n_i \sin\theta_i=\text{constant}=n_1\sin\alpha=\sin\alpha$ .

Para cualquier punto $P:(x_0,y(x_0))$ en el camino $y(x)$ , tenemos:

broncearse (θ_{PAG}) = \frac{pecado θ_{PAG}}{porque θ_{PAG}} = y^{'} (X) = \frac{d y}{d X}, dónde θ_{PAG} es ángulo incidente/refractado

$\tan(\theta_P)=\dfrac{\sin\theta_P}{\cos\theta_P}=y'(x)=\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x},\quad \text{where }\theta_P \text{ is incident / refracted angle}$

Desde $\theta_P$ es siempre un ángulo agudo, tenemos:

\frac{{pecado}^{2} θ_{PAG}}{1 - {pecado}^{2} θ_{PAG}} = y^{'} (X)^{2} \Rightarrow pecado θ_{PAG} = \frac{\pm y^{'} (X)}{\sqrt{1 + y^{'} (X)^{2}}}

$\dfrac{\sin^2\theta_P}{{1-\sin^2\theta_P}}=y'(x)^2\Rightarrow \sin\theta_P=\dfrac{\pm y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}$

Claramente $n_P\sin\theta_P=\sin\alpha$ , dónde $n_P=1+\mu x^2$ , entonces nosotros tenemos:

(1 + m X^{2}) \frac{\pm y^{'} (X)}{\sqrt{1 + y^{'} (X)^{2}}} = pecado α con: y(0)=5 | | y^{'} (0) = broncearse α

$\left(1+\mu x^2\right)\dfrac{\pm y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}=\sin\alpha\quad\text{with: y(0)=5} ||y'(0)=\tan\alpha$

Luego se trata de cómo resolver la EDO con una condición de contorno. ¿Se puede resolver la ODE en forma cerrada?

curioso

¿Intentaste integrar sobre la ley de Snell? Si bien nunca he hecho el cálculo, me parece que uno de los senos se puede reemplazar por una serie de Taylor, ya que el cambio de ángulo en una capa delgada del medio debe ser una cantidad pequeña.

LCFactorización

Encuentro que es incluso difícil establecer una ecuación diferencial para resolver dicho rayo reflejado según la ley de Snell.

LCFactorización

Resulta ser un fracaso. Traté de usar la ley de Snell para una pequeña capa de los medios

d x

$dx$ , y luego trató de obtener una ecuación diferencial basada en las relaciones. No funciona.

Carlos Witthoft

Intente buscar información sobre fibras y lentes GRIN (índice de gradiente), por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/Gradient-index_optics

usuario2705196

Solo una nota rápida de que la relación entre la ley de Snell y el principio de Fermat es sutil cuando el índice de refracción varía continuamente. En general

n (x) \sin (θ (x))

$n(x) \sin(\theta(x))$ no es una cantidad conservada. iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/37/2/025301/meta

C.Jordania

@CuriousOne Estaba usando algunos sitios de cálculo que usan la serie Taylor, como Wolfram y eMathhelp, en los que puede ingresar el pecado (theta) para la función, no sé si necesita cambiar la variable que es (x) * emathhelp .net/calculators/calculus-1/… * wolframalpha.com/widgets/…

C.Jordania

Además, ¿qué sin (theta) usaría si esos cálculos que me gustaron son correctos, el ángulo de incidencia o el ángulo de refracción?

Respuestas (2)

¿Cómo calcular la trayectoria de la luz refractada cuando el índice de refracción aumenta continuamente?

¿Intentaste integrar sobre la ley de Snell? Si bien nunca he hecho el cálculo, me parece que uno de los senos se puede reemplazar por una serie de Taylor, ya que el cambio de ángulo en una capa delgada del medio debe ser una cantidad pequeña.
Encuentro que es incluso difícil establecer una ecuación diferencial para resolver dicho rayo reflejado según la ley de Snell.
Resulta ser un fracaso. Traté de usar la ley de Snell para una pequeña capa de los medios $dx$ , y luego trató de obtener una ecuación diferencial basada en las relaciones. No funciona.
Intente buscar información sobre fibras y lentes GRIN (índice de gradiente), por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/Gradient-index_optics
Solo una nota rápida de que la relación entre la ley de Snell y el principio de Fermat es sutil cuando el índice de refracción varía continuamente. En general $n(x) \sin(\theta(x))$ no es una cantidad conservada. iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/37/2/025301/meta
@CuriousOne Estaba usando algunos sitios de cálculo que usan la serie Taylor, como Wolfram y eMathhelp, en los que puede ingresar el pecado (theta) para la función, no sé si necesita cambiar la variable que es (x) * emathhelp .net/calculators/calculus-1/… * wolframalpha.com/widgets/…
Además, ¿qué sin (theta) usaría si esos cálculos que me gustaron son correctos, el ángulo de incidencia o el ángulo de refracción?

299792458 · Answer 1

299792458

Esto puede (o no) conducir a la misma respuesta que la sugerencia anterior de CuriousOne, pero la forma más apropiada (y la más larga) de intentar una solución sería emplear el principio de Fermat . El método está muy bien descrito en el enlace, pero en pocas palabras, lo llevarían a una condición del tipo

d \int norte d s = 0

$\delta \int n ds = 0$ donde esto

d s

$ds$ se puede moldear en términos de sus coordenadas 2D. Ahora, sustituya la dependencia espacial de

n

$n$ y llegar a

d \int norte (X, y) \sqrt{(1 + (d y / d X)^{2})} d X = 0

$\delta \int n(x,y) \sqrt{(1+(dy/dx)^2)} dx = 0$

Este es un tipo de enfoque ab-initio. No me sorprendería si hay un método más corto (tal vez la sugerencia de CuriousOne).

curioso

No puedo imaginar por qué esto no conduciría a resultados idénticos. Después de todo, la ley de Snell es una aplicación del principio de Fermat. La única razón por la que sugerí comenzar con Snell es porque generalmente se enseña antes que Fermat, si no recuerdo mal.

299792458

@CuriousOne: estoy de acuerdo con eso. Pero estaba en medio de redactar mi respuesta cuando vi el comentario de OP de que la ley de Snell no funcionó para él. Entonces, agregué algunas palabras de seguridad. :)

curioso

Nada de malo con eso. Creo que lo que podría confundirlo con Snell son los dos senos, uno de los cuales debería convertirse en un coseno a través de las aproximaciones de la serie de primer orden, después de lo cual probablemente terminemos con un tangen, que, creo, puede expresarse mediante el término raíz cuadrada. en tu versión... pero ahora solo estoy adivinando.

LCFactorización

Tenga en cuenta que la solución en closed formpuede indicar que la aproximación en serie no debería funcionar.

299792458

@CuriousOne: ¡haces cálculos en tu cabeza mucho más rápido de lo que puedo seguir! Déjame ver si ese es realmente el caso :)

LCFactorización

¿Podemos deducir la ley de Snell basándonos únicamente en el principio de Fermat? -- ¿Quizás haya una respuesta en algún volumen de la conferencia de física de Feynman?

299792458

@LCFactorization - Sí, podemos. déjame ver si puedo enlazar a una fuente :)

299792458

Buscar en Google me lleva a esto , pero tenga en cuenta que yo mismo no he visto el video. Entonces, no me culpes si no está bien :)

LCFactorización

¡gracias! Recuerdo que en las conferencias de Feynman sobre física, también mencionó esa posibilidad. PD: No tengo acceso a youtube/facebook/twitter, porque tenemos un firewall muy grande :(

curioso

Según el artículo de Wikipedia sobre la ley de Snell, parece haber existido mucho antes que el principio de Fermat... lo que significa que algunas personas ya tenían la intuición correcta basada en argumentos geométricos. Hice la primera parte del cálculo... y sí, la serie de Taylor para uno de los senos conduce a un término tangens. La mala noticia es que expresa el problema en dn, no en dx, lo que requiere otra transformación e integración sobre el inverso de n(x)... lo que puede ser una forma inversa de calcular el resultado.

299792458

@LCFactorization De nada. Es una reafirmación del mismo principio (variacional) de mínima acción que tanto le gustaba a Feynman. :)

299792458

@CuriousOne - Supongo que sí. Pero estoy tratando de alcanzarte :)

curioso

@New_new_newbie: ¡El tuyo es mucho mejor en física de todos modos!

curioso

Simplemente me llamó la atención como experimentador, que la derivación de la ley de Snell proviene de un principio teórico, ¡no de una medición real! En realidad, lo estamos usando para determinar el índice de refracción de un medio en un refractómetro, ¡y no al revés! Dado que no existe una forma independiente de medir n con precisión, uno se pregunta cómo probar la ley de Snell experimentalmente con alguna precisión... ¿alguien que lo tome? ¿Quizás debería hacer de esto una pregunta?

299792458

@LCFactorization - ¡YouTube bloqueado! DE ACUERDO. Ver este enlace .

299792458

@CuriousOne: la derivación provino de principios teóricos, pero debe haberse verificado experimentalmente muchas veces desde entonces. Umm. Bien, lo entiendo ahora. Esa pregunta sería una gran pregunta si no hay otra forma de medir

n

$n$ . ¿Estás absolutamente seguro de que no hay otra manera?

299792458

Pero si la prueba misma emplea la ley de Snell, entonces es inútil esperar que aparezcan discrepancias. :) Pero de todos modos es una buena pregunta y si hay una forma alternativa, también puede ser parte de la pregunta. Al pasar por la página wiki, no parece ser el caso. Adelante, publícalo. Un voto a favor garantizado :)

curioso

n = 1 se conoce por definición (vacío), por lo que definitivamente se puede probar para cualquier material contra el vacío, dejando solo un parámetro por determinar... y luego se puede probar contra combinaciones de diferentes materiales, pero me pregunto acerca de si eso es una prueba de precisión? ¿Alguna vez has visto un artículo en el que hayan hecho un experimento así? ¡Ay! ¡Cómo pude ser tan estúpido! ¡Uno puede medir el índice de refracción con enorme precisión en un experimento de interferencia! Al usar la muestra en ángulo, uno debería poder incluir la ley de Snell en la medición.

299792458

Oh sí. Lo mismo aquí (estupidez). Idea cancelada :( Pero de todos modos, no lo mantengas en ángulo. Mide

n_{r e l a t i v e}

$n_{\rm relative}$ de este experimento, e invoque la ''definición''

n = 1

$n=1$ .

299792458

No, espera. No invoques. Eso significaría dar por sentado

n_{a i r} \approx n_{v a c u u m}

$n_{\rm air} \approx n_{\rm vacuum}$ , que nuevamente proviene de la evidencia basada en la ley de Snell. Entonces, tienes razón. La ley de Snell tiene que ser incluida en el experimento.

LCFactorización

Lo actualicé configurando ODE solo con la ley de Snell. ¿Cómo resolverlo en forma cerrada? ¿Son equivalentes las dos soluciones? Suponer

α = \frac{π}{6}

$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ y

μ = 1.0 \times 10^{- 6}

$\mu=1.0\times 10^{-6}$

usuario2705196

La relación entre la ley de Snell y el principio de Fermat es sutil cuando el índice de refracción varía continuamente. Resulta

n (x) \sin (θ (x))

$n(x) \sin(\theta(x))$ en realidad no se conserva en general! iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/37/2/025301/meta

299792458

@ user2705196: gracias por señalar este trabajo, no lo he analizado con mucho detalle, pero parece una muy buena referencia. Además, estoy vinculando a la versión arXiv de su artículo vinculado, ya que su Eur. física El artículo J está detrás de un muro de pago.

krupip

@299792458 ¿Con qué estás integrando? Claro que puedo establecer una integral entre dos puntos en el espacio, pero no conocemos uno de esos puntos, ¿verdad? En el artículo de wiki se habla de que A y B son dos puntos en el espacio.

Ruslán · Answer 2

La derivación de las "ecuaciones de movimiento" para el rayo de luz del principio de Fermat se da en el libro "Reflexiones sobre la relatividad" , capítulo 8.4 "Refracciones sobre la relatividad" .

Sabemos que el índice de refracción $n$ en un punto $(x,y)$ es igual $c/v$ , dónde $v$ es la velocidad de la luz en ese punto. Así, si parametrizamos el camino por las ecuaciones $x = x(u)$ y $y = y(u)$ , la "longitud del camino óptico" desde el punto $A$ apuntar $B$ (es decir, el tiempo que tarda un haz de luz en recorrer la trayectoria) viene dado por la integral

$L = \int_{A}^{B} norte d s = \int_{A}^{B} norte \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} d tu$ $L=\int\limits_A^B n\,\mathrm{d}s=\int\limits_A^Bn\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,\mathrm{d}u$

donde los puntos significan derivadas con respecto al parámetro $u$ . Para hacer de esta integral un extremum, sea $f$ denote la función integrando

$F (X, y, \dot{X}, \dot{y}) = norte (X, y) \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}}$ $f(x,y,\dot{x},\dot{y})=n(x,y)\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$

Entonces las ecuaciones de Euler (presentadas en la Sección 5.4) son

$\begin{aligned} \frac{\partial norte}{\partial X} = \frac{d}{d tu} (\frac{\partial F}{\partial \dot{X}}) & \frac{\partial norte}{\partial y} = \frac{d}{d tu} (\frac{\partial F}{\partial \dot{y}}) \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{\partial n}{\partial x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot x}\right) && {} && \frac{\partial n}{\partial y}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot y}\right) \end{align}$

lo que da

$\begin{aligned} \frac{\partial norte}{\partial X} \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} = \frac{d}{d tu} [\frac{norte \dot{X}}{\sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}}}] & \frac{\partial norte}{\partial y} \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} = \frac{d}{d tu} [\frac{norte \dot{y}}{\sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}}}] \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{\partial n}{\partial x}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left[\frac{n\dot x}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}\right] && {} && \frac{\partial n}{\partial y}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left[\frac{n\dot y}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}\right] \end{align}$

Ahora, si definimos nuestro parámetro $u$ como la longitud del camino espacial $s$ , entonces nosotros tenemos $\dot{x}^2+\dot{y}^2=1,$ y así las ecuaciones anteriores se reducen a

$\begin{matrix} (1a) & \frac{\partial norte}{\partial X} = \frac{d}{d s} (norte \frac{d X}{d s}) \end{matrix}$ $\frac{\partial n}{\partial x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}s}\left(n\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} s}\right)\tag{1a}$ $\begin{matrix} (1b) & \frac{\partial norte}{\partial y} = \frac{d}{d s} (norte \frac{d y}{d s}) \end{matrix}$ $\frac{\partial n}{\partial y}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}s}\left(n\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} s}\right)\tag{1b}$

Estas son las "ecuaciones de movimiento" para un fotón en un medio heterogéneo, tal como se formulan habitualmente, en términos del parámetro de trayectoria espacial $s$ .

Ahora, resolviendo estas ecuaciones para $x(s)$ y $y(s)$ , obtendrás tu curva de rayos en tu medio $n(x,y)$ .

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Carlos Witthoft

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