¿Por qué uno debe seguir la ley de Snell por el tiempo más corto?

(La siguiente respuesta se incluye esencialmente en "Las CONFERENCIAS DE FÍSICA-Mecánica, Radiación y Calor de Feynman, Vol. 1, 26-3, el principio de tiempo mínimo de Fermat").

Supón que estás en el punto A de la tierra y una niña que grita está en el punto B del mar. Puedes correr con una velocidad$\:v_{1}\:$en la tierra mayor que la velocidad$\:v_{2}\:$puedes nadar en el mar. En un momento decides seguir el camino ACB dedicando tiempo$\: t_{1}=AC/v_{1}\:$corriendo en la tierra y el tiempo$\: t_{2}=CB/ v_{2}\:$nadar en el mar, eso es tiempo total

$$\begin{equation} t_{tot}=t_{1}+t_{2}=\dfrac{AC}{v_{1}}+\dfrac{CB}{v_{2}} \tag{01} \end{equation}$$

Pero después de un tiempo cambias de opinión y decides desplazar el punto C en la costa un poco hacia la derecha hasta el punto D. Pero luego te preguntas si con tal desplazamiento acortas el tiempo total o no.
Para desplazamiento infinitesimalmente pequeño$\:CD\equiv \Delta x\:$puedes hacer las siguientes aproximaciones:

$$\begin{equation} AE \approx AC \qquad \theta_{1}^{\prime} \approx \theta_{1} \qquad BZ \approx BD \qquad \theta_{2}^{\prime} \approx \theta_{2} \tag{02} \end{equation}$$

Te das cuenta de que, por un lado, disminuyes la distancia de nado en

$$BC-BD \approx CZ=\Delta x \cdot \sin\theta_{2} \tag{03}$$ cambiando (disminuyendo) el tiempo de natación por $$\Delta t_{2}=t_{2}^{\prime}-t_{2}=-\Delta x \cdot \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}} \tag{04}$$ Por otro lado, aumentas la distancia recorrida en $$AD-AC \approx DE=\Delta x \cdot \sin\theta_{1} \tag{05}$$ cambiando (aumentando) el tiempo de ejecución por $$\Delta t_{1}=t_{1}^{\prime}-t_{1}=+\Delta x \cdot \dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}} \tag{06}$$

Entonces, equilibrando, el cambio de tiempo total es

$$\Delta t_{tot}=t_{tot}^{\prime}-t_{tot}=\left(t_{2}^{\prime}+t_{1}^{\prime} \right)-\left(t_{2}+t_{1}\right)=\Delta t_{2}+\Delta t_{1}= \Delta x \cdot\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) \tag{07}$$ Esto significa que si $$\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) > 0 \tag{08}$$ luego moviéndose infinitesimalmente a la derecha, $\: \Delta x >0 \:$, aumentamos el tiempo mientras nos movemos hacia la izquierda, $\: \Delta x <0 \:$, disminuimos el tiempo. Entonces, en caso de que la condición (08) sea válida, para encontrar un tiempo más corto debemos buscar a la izquierda del punto C.

Si

$$\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) < 0 \tag{09}$$ luego moviéndose infinitesimalmente a la derecha, $\: \Delta x >0 \:$, disminuimos el tiempo mientras nos desplazamos hacia la izquierda, $\: \Delta x <0 \:$, aumentamos el tiempo. Entonces, en caso de que la condición (09) sea válida, entonces para encontrar un tiempo más corto debemos buscar a la derecha del punto C.
Pero finalmente, si $$\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) = 0 \tag{10}$$

luego moviéndose hacia la derecha,$\: \Delta x >0 \:$, o moviéndose hacia la izquierda ,$\: \Delta x <0 \:$, el cambio es infinitesimalmente cero. Esta es la definición de los puntos extremos de una función. Entonces, la condición (10) es la del tiempo más corto y si eres un rayo de luz, entonces en términos de índices de refracción

$$v_{1}=c_{1}=\dfrac{c_{0}}{n_{1}}, \quad v_{2}=c_{2}=\dfrac{c_{0}}{n_{2}} \tag{11}$$ y (10) es la Ley de Snell

$$\bbox[#FFFF88,12px]{n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2} \qquad \textbf{(Snell's Law)}} \tag{12}$$

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EDITAR

Entonces, ¿cómo se aplica esto a las partículas? ¿Esta afirmación [apunta a] la dualidad onda-partícula?

No, no se puede pensar que el hecho de la ley de Snell sea una evidencia de la dualidad onda-partícula de la luz, aunque la respuesta de Frobenius / la derivación de Feynman considera superficialmente la trayectoria de una partícula.

Esto se debe a que los rayos de luz también pueden interpretarse completamente en términos de onda, es decir, como la unidad normal a los frentes de fase de las ondas. Siempre que las soluciones de la ecuación de onda de D'Alembert/Helmholtz cumplan con una aproximación de envolvente de variación lenta, se sigue la ecuación de Eikonal y la ley de Snell para normales de rayos en las interfaces es la conclusión ineludible de la ecuación de Eikonal. A su vez, todos estos conceptos son equivalentes al principio del "mínimo tiempo" de Fermat.

La aproximación de envolvente de variación lenta es básicamente que, en regiones de menos de varias longitudes de onda de diámetro, la onda puede considerarse localmente como una onda plana con un frente de fase bien definido, es decir, que la solución$\psi(\mathbf{r})$de la ecuación de Helmoltz en función de la posición$\mathbf{r}$es de la forma$\psi(\mathbf{r}) = \Psi(\mathbf{r})\,\exp(i\,\varphi(\mathbf{r}))$, donde la amplitud$\Psi(\mathbf{r})$tiene un valor real y varía significativamente solo en regiones mucho más grandes que una longitud de onda. En regiones de unas pocas longitudes de onda, la fase se aproxima bien por$\varphi(\mathbf{r})\approx\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}$.

Un rayo es entonces la curva integral del campo vectorial$\nabla\varphi$, y cuanto más lentamente la amplitud$\Psi(\mathbf{r})$varía en comparación con una longitud de onda, con mayor precisión se cumplen la ecuación de Eikonal y la ley de Snell.

Muestro cómo derivar la ecuación de Eikonal, el principio de Fermat y la aproximación de envolvente de variación lenta entre sí en esta respuesta aquí y las respuestas a las que se vincula.

Pero también hay una respuesta experimental que se puede dar a su pregunta. Se puede demostrar experimentalmente que las olas en los tanques de olas que se mueven a través de interfaces entre regiones de diferentes profundidades constantes cumplen la ley de Snell. La ecuación de Eikonal y la ley de Snell también se utilizan ampliamente y con éxito en sismología y otros campos de la física totalmente regidos por ondas.