¿Por qué el principio de Fermat no se formula como principio de mínima acción?

Me di cuenta de las unidades de$S$que a pesar de la similitud notacional el principio de Fermat

$$\delta S= \delta\int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n \, ds =0$$ no es un principio de mínima acción sino un principio de mínima duración. De manera confusa, a menudo se escribe este principio incluso usando el llamado "Lagrangiano óptico". $L= n \frac{ds}{dx_3}$como $$\delta S= \delta\int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} L \, dx_3 =0$$ Sin embargo, este Lagrangiano no tiene unidades de energía como el Lagrangiano habitual. $L= T-V$tiene. En cambio, el Lagrangiano óptico no tiene unidades. Así que me pregunté qué faltaba para convertir el principio de Fermat en un principio de acción mínima y deduje de las unidades que uno tiene que multiplicar el principio con algún "momento óptico". $p_O$entonces $S$se convierte en una acción: $$\delta S= p_O\ \delta \int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n \, ds =0$$ Pero que deberia esto $p_O$¿ser? Ya que estamos hablando de luz, podríamos establecer $p_O=\hbar k = \frac{h}{\lambda}$. Pero el principio de Fermat es la base de la óptica geométrica, que se puede derivar como el límite de longitud de onda cero $\lambda \rightarrow 0$de las ecuaciones de onda de la luz de Maxwell. Y una longitud de onda cero significa luz de impulso infinito según $p_O= \frac{h}{\lambda}$. Así que no parece tener sentido multiplicar el principio de Fermat por un impulso, porque eso daría un valor infinito para la acción.

Entonces, ¿la razón por la que no podemos expresar el principio de Fermat como principio de acción mínima es el hecho de que la óptica geométrica implica un momento infinito para la luz?