Principio de Fermat: ¿ningún cambio de primer orden en el tiempo?

Cualquier función continua y diferenciable$f(x)$se puede expresar como una serie de Taylor:

$$f(x_0+\delta x) = f(x_0) + \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x_0}\delta x + \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} x^2f}{\mathrm{d}^2x}\bigg|_{x_0}\delta x^2 + \dots + \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}^nx}\bigg|_{x_0}\delta x^n .$$

Cada uno de estos términos son llamados de la$n^{\mathrm{th}}$orden.

Si no hay contribución de "primer orden", entonces$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x_0} = 0$, es decir$x=x_0$es un punto estacionario. En el límite de infinitesimal$\delta x \rightarrow \mathrm{d}x \rightarrow 0$, todo$\mathcal{O}(n)$las contribuciones a la serie de Taylor también tienden a cero. Pero todo lo que va como$\delta x^{n>1}$va a$0$ más rápido que la corrección de primer orden. Lo que significa que por una minúscula$\delta x$, la única "corrección" estaría dada por$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x_0}$. si eso es tambien$0$, entonces no hay corrección y la función es estacionaria.

En este caso, su$f$es en realidad el tiempo$t$.

Al decir que no hay cambios de primer orden, Feynman quiere decir que la derivada funcional de primer orden se anula o, de manera equivalente, que el camino es estacionario.

Por cierto, ningún cambio de primer orden es un tema de conversación común de Feynman. Escuche, por ejemplo, 46:48-48:48 en la charla El carácter de la ley física, parte 4, donde hace comentarios similares sobre el principio de acción mínima .