¿Podemos generar la acción de Proca (spin-1) a partir de la acción de Dirac (spin-1/2)?

Lo más parecido a lo que buscas consiste en descomponer el campo$A_\mu$utilizando espinores de Weyl de dos componentes; mostrando el isomorfismo$SO(1,3) = SL(2,\mathbb{C})$, la representación vectorial del grupo de Lorentz entra en$X \to P X P^\dagger$con$X$el complejo$2x2$matriz asociada al vector$X^\mu$y$P \in SL(2, \mathbb{C})$. exhibiendo el$SL(2, \mathbb{C})$índices explícitamente, el campo se convierte en$A_{a\dot{a}}$y las ecuaciones de campo se pueden escribir en una notación de espinor de 2 componentes. Warren Siegel analiza estos temas en profundidad en su texto de teoría de campos.

Recuerda que la ecuación de Dirac describe fermiones con espín medio entero, como electrones o quarks. Un proca Lagrangiano describe un bosón masivo con espín 1. Las estadísticas seguidas por estos dos tipos de partículas son diferentes: los bosones obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein mientras que los fermiones obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac.

Pero 1 debería ser$1/2⨁1/2$, entonces, ¿es posible inferir la acción de Proca al combinar las de Dirac?

La respuesta es no, porque la acción proca (o lagrangiana) y la acción de Dirac describen dos tipos diferentes de partículas (y dos objetos matemáticos muy diferentes). El proca Lagrangiano describe un campo vectorial real$A^{\mu}$mientras que el Lagrangiano de Dirac describe un campo de espinor de 4 componentes de valor complejo$\Psi$. Sumar dos espinores (dos partículas de 1/2 espín) daría como resultado un espinor, no un campo vectorial.

Más aún, ¡los lagrangianos ni siquiera tienen las mismas simetrías! Por ejemplo, el Proca Lagrangiano no es invariante bajo condiciones globales.$U(1)$transformaciones, mientras que el Lagrangiano de Dirac lo es.