¿El operador de helicidad h=p^⋅Sh=p^⋅Sh=\hat p \cdot S está relacionado con la quiralidad de los fermiones sin masa también en otras dimensiones? (aparte de 4d)

es el operador de helicidad h = pag ^ ⋅ S como el definido en la ecuación (3.54) del libro Peskin QFT bien definido en otras dimensiones? Por ejemplo, Peskin se centró en el espacio 3d y el tiempo 1d (4d). El operador helicidad h = pag ^ ⋅ S está relacionado con la quiralidad de los fermiones sin masa en este 4d.

Mi pregunta es si el operador de helicidad

h = pag ^ ⋅ S
también está relacionado con la quiralidad de los fermiones sin masa también en otras dimensiones? (aparte de 4d)

Por ejemplo, en 1d espacio y 1d tiempo (2d), todavía podemos tener un fermión que se mueve hacia la izquierda ( pag ^ < 0 ) y fermión de movimiento hacia la derecha ( pag ^ > 0 ). ¿Qué hay de sus giros? Parece que sus giros están bloqueados con su impulso, por ejemplo, podemos decir que el fermión que se mueve hacia la izquierda tiene un giro hacia arriba ( S > 0 ), mientras que el fermión que se mueve hacia la derecha tiene un giro hacia abajo ( S < 0 ).

Entonces vemos que el fermión que se mueve hacia la izquierda ( pag ^ < 0 , S > 0 )

h = pag ^ ⋅ S < 0 ,
el fermión que se mueve hacia la derecha ( pag ^ > 0 , S < 0 )
h = pag ^ ⋅ S < 0.

Entonces no tienen la diferente helicidad. h si h = pag ^ ⋅ S es la forma de definir la helicidad. Debido a que la quiralidad del movimiento a la izquierda puede ser − quiral, y el fermión que se mueve hacia la derecha puede ser + quiral Deben tener signos diferentes.

¿Qué hay de otras dimensiones incluso del espacio-tiempo, cuando podemos definir la quiralidad? ¿Podemos encontrar analogía de los operadores de helicidad? ¿Cómo definir tal h ?

Veo tres preguntas aquí. (1) ¿Cuál es la relación, si la hay, entre la helicidad y la quiralidad en d ≠ 4 espacio-tiempo dimensional? (2) ¿Cuándo se define la quiralidad? (3) ¿Cómo se define la helicidad en d ≠ 4 espacio-tiempo dimensional? Las preguntas (2) y (3) son requisitos previos para (1). La pregunta (3) es casi un duplicado de Análogo de helicidad en dimensiones superiores y fórmula concreta , pero no del todo. Para (2), ¿estás familiarizado con el álgebra de Clifford y los espinores? Para (3), ¿está familiarizado con el concepto de "pequeño grupo" en el contexto de partículas sin masa?
gracias - lo que escribiste es muy útil. tal vez pueda actualizar a una respuesta, sé que la quiralidad se puede definir cuando tiene un gamma5 en incluso dimensiones de espacio-tiempo.
La quiralidad se define solo en el espacio-tiempo de dimensión uniforme, y siempre es binaria (las únicas opciones son para zurdos y para diestros). Por el contrario, la helicidad no siempre es binaria. En el espacio-tiempo bidimensional (espacio unidimensional), el momento angular no existe porque el grupo de rotación es trivial. En 2 norte -espacio-tiempo dimensional para 2 norte ≥ 4 , una partícula sin masa tiene una 2 norte − 2 estados de helicidad linealmente independientes para cada quiralidad. Entonces, para 2 norte ≥ 6 , una partícula sin masa tiene un continuo de posibles estados de helicidad (para cada quiralidad) en lugar de uno solo. ¿Es esto lo que estás buscando?

Respuestas (1)

En una dimensión general del espacio-tiempo, la helicidad es el valor propio de una rotación que deja la dirección del movimiento sin cambios. El grupo de tales rotaciones se llama el "pequeño grupo". Para una partícula sin masa, el pequeño grupo juega un papel especialmente importante, ya que no es posible llevar esta partícula a un marco de reposo donde todas las rotaciones tienen un papel equivalente.

En 4 dimensiones, el pequeño grupo es U(1), el grupo de rotaciones sobre la dirección del movimiento. Esto tiene un generador, que es exactamente la proyección de S → a lo largo de la dirección del movimiento, es decir, la helicidad habitual. Esta es una situación muy simple. En 2 dimensiones, no hay grupito. En 6 dimensiones, el grupito es SO(3) o SU(2).

Me limito a dimensiones pares aquí porque ahí es donde Γ , la quiralidad, está definida. En 2 dimensiones, Γ = γ 0 γ 1 , en 4 dimensiones en es lo habitual γ 5 , etc. En dimensiones generales, el tamaño mínimo de la representación para un espinor de Dirac es 2 [ d / 2 ] , es decir, 2 en 2 o 3 dimensiones, 4 en 4 o 5 dimensiones y 8 en 6 o 7 dimensiones. En dimensiones pares, es posible dividir la representación del espinor sin masa en dos partes con quiralidad ( Γ valores propios) +1 y -1. Estos tienen dimensiones 1 en 2-d, 2 en 4-d y 4 en 6-d. En 2-d (dimensión espacial 1), el Γ = + 1 El estado propio es el fermión que se mueve solo hacia la derecha a lo largo de la línea a la velocidad de la luz, y el Γ = − 1 El estado es un fermión que se mueve a la izquierda a lo largo de la línea. En 4-d, los estados propios de quiralidad son los espinores dextrógiros habituales. En 6-d, la representación de 4 dimensiones se compone de dos representaciones que son espinores SU(2). En reducción a 4 dimensiones, esta representación se descompone como

4 → ( + 1 , 2 , 1 ) + ( − 1 , 1 , 2 )
donde el primer número cuántico es el Γ valor propio y los dos siguientes son los ( j R , j L ) números cuánticos de S O ( 3 , 1 ) representación. Para aquellos que están en sintonía con esto, el 4 en 6 dimensiones es "como un vector" cuando se reduce a 4 dimensiones.

Este tipo de análisis se puede hacer en cualquier dimensión par. Hay que tener en cuenta también la posibilidad de fermiones de Majorana. En las dimensiones 2, 10,…, los espinores pueden ser tanto quirales como majoranos, reduciendo aún más los grados de libertad. Todo esto se resuelve en libros sobre supersimetría, para los cuales es importante el tamaño de las representaciones del espinor en dimensiones superiores. Recomiendo el tratamiento en “Supergravity”, de Freedman y van Proeyen.

¿El operador de helicidad h=p^⋅Sh=p^⋅Sh=\hat p \cdot S está relacionado con la quiralidad de los fermiones sin masa también en otras dimensiones? (aparte de 4d)
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