¿Cuáles son las propiedades de transformación reales de los espinores de Dirac uσ(p)uσ(p)u_\sigma(p)?

Podemos responder a esta pregunta de forma más general: ¿cuáles son las propiedades de transformación de las polarizaciones asociadas a un campo masivo? (Me estoy restringiendo a masivo porque las polarizaciones para partículas sin masa con espín mayor o igual que 1 requieren la discusión de la invariancia de calibre; lo dejaré para otro día).

Las polarizaciones se pueden definir sin referencia a la ecuación de campo: se definen como elementos de matriz para un campo entre el vacío y los estados de una partícula:

$$\langle 0| \psi_\ell(0) | \mathbf{p},\sigma\rangle \propto u^\sigma_\ell(\mathbf{p})$$ donde el factor de proporcionalidad es una constante (conocida como renormalización de función de onda) en la normalización relativista para el estado $|\mathbf{p},\sigma\rangle$. Aquí el índice $\ell$es el índice en la representación de Lorentz llevado por el campo $\psi_\ell$(Por ejemplo, $\ell=\mu$para un 4-vector, $\ell=\alpha$para un dirac spinor, más generalmente $\ell=(\alpha,\beta)$es un par de índices en el $(A,B)$representacion de $SO(3,1)\sim SU(2)\times SU(2)$). Las polarizaciones llevan también otro índice, $\sigma$, que representa el espín de la partícula. Más precisamente, es el índice de grupo pequeño que lleva la partícula, ya sea el espín o la helicidad. Esta definición nos dice inmediatamente cómo $u^\sigma_\ell$se transforma dado que $\psi$lleva una representación de Lorentz $$U(\Lambda)\psi_\ell(x) U^{-1}(\Lambda)=D(\Lambda^{-1})_{\ell\ell^\prime}\psi_{\ell^\prime}(\Lambda x)$$ y la transformada de estado de una partícula con respecto al pequeño grupo con una rotación de Wigner $$U(\Lambda)|\mathbf{p},\sigma\rangle = \mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(W(\Lambda),p)|\mathbf{p}_\Lambda, \sigma^\prime\rangle$$ lo que implica $$D(\Lambda)_{\ell\ell^\prime}u^\sigma_{\ell^\prime}(\mathbf{p})=u^{\sigma^\prime}_{\ell}(\mathbf{p}_\Lambda)\mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(W(\Lambda),p)$$ dónde $\mathbf{p}_\Lambda$es parte de 3 vectores de 4 vectores $\Lambda p$. (Una forma de leer esta ecuación es diciendo que las polarizaciones se transforman a la izquierda bajo Lorentz y a la derecha bajo las transformaciones de pequeños grupos: esto tiene que ser tal que uno pueda convertir los índices de Lorentz de funciones de correlación de campos en el pequeños índices de grupo de la matriz de dispersión $S$como dicta la fórmula de reducción LSZ).

Esto responde a tu pregunta. Pero, de hecho, podemos decir más: esas propiedades de transformación son constructivas ya que te permiten determinar explícitamente la polarización (y muestran que satisfacen ciertas ecuaciones, por ejemplo, Dirac para espín-1/2,...) como se demostró hace mucho tiempo. en los años 60 por Weinberg (ver la discusión en su libro de texto sobre QFT vol.1 capítulo 5). Por ejemplo, tome$k=(m,\mathbf{0})$(para una partícula masiva) y aplicar la transformación canónica de Lorentz$L=\Lambda$eso lo trae a$p=(E,\mathbf{p})=L\,k$. En este caso la rotación de Wigner es trivial,$W=1$, y por lo tanto

$$u^{\sigma}_{\ell}(\mathbf{p})=D_{\ell\ell^\prime}(L)u^\sigma_{\ell^\prime}(\mathbf{0})$$ lo que significa que solo necesitamos conocerlos en momento cero (o, para partículas sin masa con respecto al vector de referencia utilizado para el pequeño grupo). Además, para una rotación arbitraria $\Lambda=R$tenemos $W=R$para cualquier $p$de modo que $$D_{\ell\ell^\prime}(R)u_{\ell^\prime}^\sigma=u^{\sigma^\prime}_\ell(\mathbf{0})\mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(R)$$ Tomando en diagonal las rotaciones alrededor del $z$eje, $\mathcal{L}_{\sigma^\prime\sigma}(R_z)=e^{i\sigma\theta}\delta_{\sigma^\prime\sigma}$, la polarización se puede extraer por el infinitesimal $z$-rotación $$D_{\ell\ell^\prime}(J^z) u^\sigma_{\ell^\prime}{\mathbf{0}}=\sigma u^\sigma_{\ell}(\mathbf{0})\,.$$

Permítanme dar un ejemplo instructivo: un estado masivo spin-1 (donde$\ell$es un índice en el irrep$(1/2,1/2)$, eso es$\ell=\mu=0,1,2,3$es un índice de 4 vectores) tiene una representación tridimensional de$J^z$dónde$D(J^z)_{ij}=-i\epsilon_{3ij}$y$D(J^z)_{00}=D(J^z)_{i0}=0$para que las polarizaciones

$$\epsilon_{\mu}^{\pm}(\mathbf{0})=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,\mp 1,-1,0)^T\,,\qquad \epsilon_\mu^0=(0,0,0,1)^T\,.$$ resuelve las ecuaciones deseadas arriba. Claramente satisfacen $p^\mu \epsilon_\mu^\sigma=0$, una vez que impulsamos $(m,\mathbf{0})$a $p$. Por lo tanto, el elemento de la matriz $$\Psi_\mu(x)\equiv \langle 0| \psi_\mu(x) | \mathbf{p},\sigma\rangle =e^{ipx} \langle 0| \psi_\mu(0) | \mathbf{p},\sigma\rangle \propto e^{ipx} u^\sigma_\mu(\mathbf{p})$$ satisface $$(\square+m^2)\Psi_\mu(x)=0\,,\qquad \partial_\mu\Psi^\mu(x)=0$$ que se derivan más que se utilizan como punto de partida.

Se puede hacer lo mismo para cualquier espín, en particular para el espín-1/2 y ver que resuelven la ecuación de Dirac. De manera más general, dado que el grupo de Lorentz$SO(3,1)\sim SU(2)_A \times SU(2)_B$el momento angular viene dado por$J=J_A+J_B$lo que nos dice que

$$D(J_A)_{\alpha\alpha^\prime}u^\sigma_{\alpha^\prime\beta}(\mathbf{0})+D(J_B)_{\beta\beta^\prime}u^\sigma_{\alpha\beta^\prime}(\mathbf{0})=\mathcal{L}(J_S)_{\sigma^\prime\sigma} u^{\sigma^\prime}_{\alpha\beta}(\mathbf{0})$$ dónde $\ell=(\alpha,\beta)$. En otras palabras, las polarizaciones son (proporcionales a) el coeficiente de Clebsch Gordan para el espín $S$encontrado dentro $A\otimes B$ $$u^\sigma_{\alpha\beta}(\mathbf{0})\propto C^{(S)\sigma}_{(AB)\alpha\beta}$$ Varias de las propiedades de las polarizaciones provienen de hecho de la condición unitaria de estos coeficientes de Clebsch Gordan.

Primero, tenga en cuenta que u(ps)u(ps) no son estados en el espacio de Hilbert de alguna teoría cuántica. En cambio, son la solución a cierta ecuación, a saber$(\gamma^{\mu}p_{\mu}−m)u(ps)=0$(equivalentemente:$u(ps)e^{−ipx}$resuelve la ecuación de Dirac). Por lo tanto, la notación de paréntesis no está realmente en su lugar (¡aunque es tentador!) La segunda observación es que debería pensar en cómo se define el giro. La convención habitual dice que el giro de una partícula en movimiento se define como su giro en el marco de referencia donde no se mueve. Ahora deja$p_0=(m,0,0,0)$y definir$u(p_0s)$como solución de la ecuación de Dirac que describe una partícula en reposo con espín$s$. Para cualquier rotación (que es solo la transformación de Lorentz$\Lambda$tal que$\Lambda p_0=p_0$) tenemos una relación familiar de QM ordinario

$$S(\Lambda)u(p_0s) = D(\Lambda)_{s's}u(p_0s')$$ Luego, para cualquier impulso posible $p$de esta partícula elegimos algún impulso estándar $\Lambda_0(p)$que transforma $p_0$a $p$. La opción estándar es simplemente impulsar en el $\vec p$dirección. Ahora define $u(ps)=S(\Lambda_0(p))u(p_0s)$. Esta es una solución que describe una partícula en movimiento con espín. $s$en su marco de reposo. Ahora elijamos alguna transformación de Lorentz arbitraria $\Lambda$y calcular su acción $$S(\Lambda) u(ps) = S(\Lambda \Lambda_0(p)) u(p_0 s)=S(\Lambda_0(\Lambda p))S(W(\Lambda,p)) u(p_0s),$$ dónde $W(\Lambda,p)=\Lambda_0(\Lambda p)^{-1}\Lambda \Lambda_0(p)$. Esta transformación de Lorentz se llama rotación de Wigner. Es fácil ver eso $W(\Lambda,p)p_0=p_0$, por lo que se aplica la fórmula anterior. Por lo tanto $$S(\Lambda)u(ps) = S(\Lambda_0(\Lambda p)) \sum_{s'}D_{s's}(W(\Lambda,p)) u(p_0s')=\sum_{s'}D_{s's}(W(\Lambda,p)) u(\Lambda p,s').$$ La segunda igualdad se sigue de la definición de $u(ps)$para $p \neq p_0$.