Espinor de Dirac y espinor de Weyl

A partir de la covarianza relativista de la ecuación de Dirac (consulte la Sección 2.1.3 en el libro QFT de Itzykson y Zuber para obtener una derivación. También sigo más o menos su notación), sabe cómo se transforma un espinor de Dirac. Uno tiene

$$\psi'(x')=S(\Lambda)\ \psi(x)$$ bajo la transformación de Lorentz $$x'^\mu= {\Lambda^\mu}_\nu\ x^\nu= {\exp(\lambda)^\mu}_\nu\ x^\nu=(I + {\lambda^\mu}_\nu+\cdots)\ x^\nu\ .$$ Explícitamente, uno tiene $S(\Lambda)=\exp\left(\tfrac{1}8[\gamma_\mu,\gamma_\nu]\ \lambda^{\mu\nu}\right)$.

Para mostrar la reducibilidad, todo lo que necesita es encontrar una base para las matrices gamma (así como los espinores de Dirac) tal que$[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$es un bloque diagonal con dos$2\times 2$bloques Una vez que se muestra esto, se prueba la reducibilidad de los espinores de Dirac bajo transformaciones de Lorentz ya que$S(\Lambda)$también es bloque-diagonal. Tal base se llama base quiral. También es importante tener en cuenta que un término de masa en el término de Dirac mezcla los espinores de Weyl en la ecuación de Dirac, pero eso no es un problema para la reducibilidad.

Si bien esta derivación no usa directamente la teoría de representación del grupo de Lorentz, sí usa la covarianza de Lorentz de la ecuación de Dirac. No sé si esto es lo que querías.

( No estoy interesado en su generosidad, por favor no me otorgue nada ) .

La respuesta se reduce a la teoría de la representación del grupo de Lorentz. Se puede encontrar una buena discusión en el primer volumen de QFT de Weinberg (y también en otros lugares). Una cosa a tener en cuenta es que postulas una representación de 4 dimensiones del grupo de Lorentz. Este postulado surge cuando asumes que tus objetos tienen 4 componentes. Ahora, una representación de 4 dimensiones del grupo de Lorentz puede ser irreducible, correspondiente a los 4 vectores, o estar construida por dos representaciones bidimensionales, correspondientes a dos espinores de 2 componentes. Estas son las únicas dos opciones.

No hay nada que pueda discernir la izquierda de la derecha. Todo lo que sabemos es que habrá dos subespacios bidimensionales que son independientes entre sí. (Esto se puede ver en la base quiral de las matrices gamma). Simplemente llamamos a los objetos en uno de los espacios que se mueven a la izquierda y a los objetos en el otro espacio que se mueven a la derecha. Sin embargo, los dos espacios son absolutamente idénticos. Por ejemplo, si escribimos la ecuación de Dirac en forma de dos componentes (y hay una forma equivalente de hacer todos los cálculos posibles usando solo espinores de dos componentes en lugar de espinores de 4 componentes [1]), entonces podemos ver que las ecuaciones satisfechos por los espinores izquierdo y derecho son absolutamente equivalentes.

¡Espero que esto ayude!

[1] http://arxiv.org/abs/0812.1594

El punto clave al escribir una acción para espinores es la existencia de un álgebra de Clifford (expandida por las matrices gamma )

$$\{\gamma^a,\gamma^b\} = 2\eta^{ab}\mathbf{1},$$ donde el indice $a$corre de $0$a $3$(o $0$a $D-1$, dónde $D$es la dimensión del espacio-tiempo).

Toda la base para el álgebra está dada por el$\gamma$'s y todos los productos posibles... debido a la última ecuación, solo contribuyen los productos antisimétricos.

Es posible demostrar que para todo espaciotiempo de dimensión par, el producto (antisimétrico) de todos$\gamma$'s, es decir ,$\gamma^* \propto \gamma^0\cdots \gamma^{D-1}$permite definir proyectores no triviales

$$P_+^2 = P_+,\quad P_-^2 = P_-, \quad P_+ P_- = 0.$$

Estos proyectores sirven para dividir el espinor en pedazos,

$$\psi_{\pm} = P_{\pm} \Psi,$$ con $\Psi$el espinor de Dirac, y $\psi_\pm$los de Weyl (o quirales).

Conclusión

El hecho de que los espinores de Dirac se puedan dividir en los de Weyl se debe a la dimensionalidad del espacio-tiempo. En dimensión impar, los proyectores son triviales porque son$0$y$1$respectivamente.

---

Comentario adicional: los espinores de Weyl son bidimensionales solo si se utiliza la representación quiral de matrices gamma. De lo contrario, tienen la mitad de los componentes (en términos de dimensión real de los espinores).