¿De dónde viene el impulso de Lorentz para un espinor de Dirac?

Es posible que desee ver la derivación de las transformaciones de Lorentz para los espinores de Dirac, digamos en el libro de Itzykson, Zuber. Se derivan de la condición de covarianza relativista de la ecuación de Dirac. Los generadores de transformaciones de Lorentz son$[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$(hasta un factor constante). Esta expresión da los diferentes signos para impulsos para las partes derecha e izquierda del espinor de Dirac en la representación quiral.

Comentarios a la pregunta (v3):

1. Recuérdese que el grupo restringido de Lorentz

   $$\tag{1} SO^+(3,1)~\cong~ SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$$ es localmente isomorfo al grupo de Lie del complejo$2\times 2$matrices con determinante unitario, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . El grupo de Lie de rotaciones 3D $$\tag{2} SO(3)~\cong~ SU(2)/\mathbb{Z}_2$$ es un subgrupo del mismo.

2. La representación del espinor de Weyl para zurdos es la representación fundamental de$SL(2,\mathbb{C})$. Un espinor de Weyl zurdo$\psi^{\alpha}_L$(con índices superiores) se transforma como

3. La representación del espinor de Weyl diestro es matemáticamente hablando la representación conjugada compleja . Esto significa un espinor de Weyl diestro$\psi^{\dot{\alpha}}_R$(con índices superiores) se transforma como

   $$\tag{4} \psi^{\bullet}_R~\longrightarrow~\psi^{\prime\bullet}_R ~=~g^{\ast} \psi^{\bullet}_R, \qquad g~\in~SL(2,\mathbb{C}),$$ dónde$g^{\ast}$denota el complejo conjugado$2\times 2$matriz.

4. Los físicos a menudo bajan el índice del espinor de Weyl diestro

   $$\tag{5}\psi_{\dot{\alpha}}^R~=~\varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\psi^{\dot{\beta}}_R$$ con el tensor Levi-Civita$\varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$. El espinor de Weyl diestro$\psi_{\dot{\alpha}}^R$(con índices más bajos) se transforma como la representación conjugada de Hermitian $$\tag{6}\psi_{\bullet}^R~\longrightarrow~ \psi^{\prime R}_{\bullet} ~=~(g^{-1})^{\dagger} \psi_{\bullet}^R, \qquad g~\in~SL(2,\mathbb{C}),$$ debido a las propiedades especiales de$2\times 2$matrices.

5. En resumen, la diferencia entre las transformaciones (3) y (6) se vuelve discutible para las rotaciones 3D compactas [ya que están implementadas por unitario$2\times 2$matrices, cf. ec. (2)], pero induce un importante signo relativo negativo en la regla de transformación de impulsos de Lorentz no compacta entre los espinores de Weyl zurdos y diestros.