Espinores, espacio-tiempo y álgebra de Clifford

1. La razón por la que generalmente complejizamos el álgebra de Clifford es principalmente por conveniencia: la teoría de representación de álgebras complejas es más simple en general, y si queremos restringirnos a representaciones reales por alguna razón más adelante, siempre podemos hacerlo. En particular, los espinores de Dirac existen al menos en todas las dimensiones, mientras que los espinores de Majorana "reales" dependen del número de dimensiones e incluso de la firma (dependiendo de qué quiere decir exactamente con "Majorana"), consulte también estas preguntas y respuestas de la mía

2. El segundo grado del álgebra de Clifford (compleja o real no importa aquí) es isomorfo como un álgebra de Lie al álgebra de Lorentz (o, en la versión generalizada, el álgebra de Clifford generalizada para una métrica$\eta$tiene el álgebra de isometría para esa métrica como su segundo grado). No son las "matrices gamma" (= generadores del álgebra de Clifford, por lo tanto, en particular, elementos de primer grado) las que generan el álgebra de Lorentz, sino sus conmutadores$\sigma^{ij} = [\gamma^i, \gamma^j]$. (Puede ser que ya esté al tanto de esto, pero este es un punto común de confusión)

3. No estoy muy seguro de qué está tratando de hacer su pregunta "¿el álgebra de Clifford encapsula algún espacio global al que pertenecen el espacio-tiempo y el espacio de espinores" , pero permítanme señalar que cuatro dimensiones, donde uno podría identificar el primer grado de el álgebra de Clifford con el espacio-tiempo y los espinores de Dirac de cuatro dimensiones - son un "accidente". La representación del espinor de Dirac en$d$dimensiones es$2^{\lfloor d/2 \rfloor}$-dimensional, que no puedes identificar con el$d$-dimensional primer grado del álgebra en la mayoría de las otras dimensiones. Por lo tanto, el álgebra de Clifford, en un sentido general, no "contiene" espinores.

4. Por último y más tangencialmente, no hay isomorfismo$\mathrm{SO}(1,3)\cong \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$, independientemente de la frecuencia con la que lea esta mentira en textos orientados a la física. Consulte, por ejemplo, esta respuesta de Qmechanic y las preguntas vinculadas para obtener detalles sobre la relación entre los dos grupos y sus álgebras. La cáscara de nuez es que$\mathrm{su}(2)\oplus\mathrm{su}(2)$es la forma real compacta de la complejización de$\mathrm{so}(1,3)$, por lo tanto, las representaciones complejas de dimensión finita de estas álgebras son equivalentes, por lo tanto, las representaciones proyectivas del grupo$\mathrm{SO}(1,3)$están dadas de manera equivalente por$\mathrm{su}(2)\oplus\mathrm{su}(2)$representaciones. (Para saber por qué son importantes las representaciones proyectivas, vea estas preguntas y respuestas mías )

Aquí hay un camino simple de investigación que yo mismo he estado usando para responder un poco a su pregunta...

Puede extender fácilmente un álgebra de Clifford a un espacio con un tensor métrico no plano. SI asume que todos los elementos de los objetos de Clifford son tensores y, por lo tanto, el objeto de Clifford en sí mismo es un escalar (desde el punto de vista del tensor), entonces todas sus ecuaciones serán generalmente covariantes.

Por ejemplo, puedes hacer esto usando$Cl_{1,3}$y utilizando el vector de campo electromagnético. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo se reducen a:

$\partial F = \mu_0 J$

dónde

$F \equiv \partial A$

$\partial \equiv \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, A \equiv \gamma^{\mu} A_{\mu}$

Ahora, para llegar a los espinores, usa tétradas para reescribir sus generadores como combinaciones lineales de los generadores planos originales (matrices de Dirac, por ejemplo), y nuevamente trata cada elemento de algún objeto como tensores. Esto le permite escribir una versión generalmente covariante de la ecuación de Dirac:

$\partial \Psi = \frac{E_0}{\hbar c} \Psi \gamma^{012}$

El truco para expandir esto es recordar reemplazar las derivadas de las matrices de Dirac "planas" con las covariantes que usan la conexión de espín. Esto es solo un truco que compensa el uso de las tétradas y el cambio de "marco".

Me estoy saltando muchos pasos detallados, pero esto SÍ te da una ecuación covariante general para los espinores.