¿Podría haber un término cinético de pseudovector para los fermiones?

Teóricamente, se le permite tener un término cinético de pseudovector de este tipo: no está prohibido por ninguna simetría.

Digamos que el término cinético del vector original es

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi.$$ Y añadimos un término cinético del pseudovector $$\epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi$$ Llegar $$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = (1+\epsilon)\bar{\Psi}_L i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi_L + (1-\epsilon)\bar{\Psi}_R i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi_R.$$

El problema es que no es así como el Todopoderoso ordena que sea el mundo físico. Un término cinético del pseudovector adicional al del vector significaría diferentes términos cinéticos (por lo tanto, diferentes impulsos) para el fermión zurdo y diestro, lo que no se ajusta a las observaciones experimentales hasta el momento.

En este punto, el estudiante inteligente y descarado de la primera fila podría preguntar: "Oiga, profesor, ¿no puede cambiar la escala de los campos de fermiones en el Lagrangiano para hacer que los términos cinéticos zurdos/diestros sean iguales después de todo?"

Hagamos el ejercicio de reescalar como

$$\Psi_L \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}\Psi_L.$$ $$\Psi_R \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-\epsilon}}\Psi_R,$$ Resultando en $$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \rightarrow \bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi,$$ lo que efectivamente elimina el término cinético del pseudovector y nos devuelve al término cinético del vector puro original.

¿Qué tal el término de masa? El término de masa de Dirac se reescalaría como

$$m\bar{\Psi}\Psi \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}\sqrt{1-\epsilon}}m\bar{\Psi}\Psi.$$ ¿Significa esto que no hay un efecto físico real de un término cinético de pseudovector, aparte de un término de masa reescalado?

El caso es que se efectuarán los acoplamientos de calibre. supongamos que el fermión está acoplado a un campo de calibre vectorial,

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu -eiA_\mu) \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = (1+\epsilon)\bar{\Psi}_L i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1+\epsilon}eiA_\mu) \Psi_L + (1-\epsilon)\bar{\Psi}_R i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1-\epsilon}eiA_\mu) \Psi_R.$$

Apliquemos el cambio de escala mencionado anteriormente de los campos de fermiones zurdos/diestros y obtengamos

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu -eiA_\mu) \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \rightarrow \bar{\Psi}_L i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1+\epsilon}eiA_\mu) \Psi_L + \bar{\Psi}_R i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1-\epsilon}eiA_\mu) \Psi_R.$$ Vaya, ahora tenemos un campo de calibre vectorial $$\frac{1}{2}(\frac{1}{1+\epsilon} + \frac{1}{1-\epsilon})A_\mu$$ y un campo de calibre pseudovertor (axial) $$\frac{1}{2}(\frac{1}{1+\epsilon} - \frac{1}{1-\epsilon})A_\mu$$

La interacción de calibre pseudovectorial es una lata de gusano que no quieres abrir. Además de la falta de evidencias experimentales, las interacciones de calibre de pseudovectores tendrán complicaciones con las consideraciones de cancelación de anomalías quirales cuánticas.

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Un bono para ti:

Sin embargo, PUEDE tener términos de masa escalar y pseudscalor, parametrizados como:

$$m\bar{\Psi} e^{\theta i\gamma_5} \Psi = m\cos\theta \bar{\Psi} \Psi + m\sin\theta \bar{\Psi} i\gamma_5\Psi.$$

El hecho divertido es que después de una rotación del campo de fermiones

$$\Psi \rightarrow e^{-\frac{1}{2}\theta i\gamma_5} \Psi.$$ el término de masa "complejo" se puede convertir en un término de masa escalar: $$m\bar{\Psi} e^{\theta i\gamma_5} \Psi \rightarrow m\bar{\Psi} \Psi.$$ Curiosamente, al contrario del caso anterior de cambio de escala del campo de fermiones izquierdo/derecho, esta rotación no cambiaría los acoplamientos de calibre.