¿Cómo probar que las ecuaciones de espinores de Weyl son invariantes de Lorentz? [duplicar]

La clave es que estás contrayendo$\partial_\mu$en cualquiera$\sigma^\mu,\bar{\sigma}^\mu$. Considere la contratación de un vector general$p^\mu$

$$\sigma^\mu p_\mu = \left(\begin{array}{cc} p^0-p^3& -p^1+ip^2\\ -p^1-ip^2 &p^0+p^3 \end{array}\right)$$ Tenga en cuenta que el determinante es solo la norma del vector: $(p^0)^2-(p^1)^2-(p^2)^2-(p^3)^2$.

Si intercalas esta matriz entre algunos$U$y$U^{-1}$el determinante no cambia

$$\det\left(U\sigma^\mu p_\mu U^{-1}\right)=\det\left(\sigma^\mu p_\mu \right)$$ por lo que corresponde a alguna transformación de Lorentz.

Entonces podemos escribir

$$\sigma^\mu (\Lambda^{\mu'}_\mu p_{\mu'})=U(\Lambda)\sigma^\mu p_\mu U(\Lambda)^{-1}$$ para alguna matriz de 2 por 2 $U(\Lambda)$.

Resulta que$U(\Lambda)$es la misma matriz que está utilizando para transformar su espinor derecho, por eso las ecuaciones de Weyl son invariantes.

Por ejemplo, como ejercicio, tome una rotación finita sobre el eje z:

$$I-i\frac{\theta}{2}\sigma^3+\dots=\exp(-i\frac{\theta}{2}\sigma^3)=\left(\begin{array}{cc} \exp(-i\frac{\theta}{2})& 0\\ 0 &\exp(+i\frac{\theta}{2}) \end{array}\right)$$ Puedes demostrar eso $$\exp(-i\frac{\theta}{2}\sigma^3)\,\sigma^\mu p_\mu\,\exp(+i\frac{\theta}{2}\sigma^3)$$ transforma el $p^1,p^2$componentes como una rotación por ángulo $\theta$.