No puede convertirse en anillo porque la ley de distribución no se cumple

El anillo conmutativo con unidad se define como ( R , + , × ) , dónde ( R , + ) es un grupo abeliano y ( R , × ) es monoide multiplicativo conmutativo con 1 y + y × cumple la ley distributiva.

Podrías darme un ejemplo ( R , + , × ) no puede ser un anillo porque + y × no satisface la ley distributiva aunque ( R , + ) es un grupo abeliano y ( R , × ) es monoide multiplicativo conmutativo con 1 .

+1, Esta es una gran pregunta. Estuve pensando en esto hace un tiempo e hice esta pregunta que podría interesarle; math.stackexchange.com/questions/3900991/… . Su pregunta realmente aclara lo que estaba tratando de pensar allí.
Pensé, en el anillo, ＋ y × son dependientes (relevantes) y no deberían ser independientes (irrelevantes), la única expresión condicional en la que aparecen ＋ y × (por lo tanto parece estar relacionado) es la ley distributiva. Ese es el trasfondo que hice esta pregunta.

Respuestas (2)

Aquí hay un ejemplo "tonto". Dejar R = Z , y deja × = + , es decir, la suma y la multiplicación son lo mismo. Ahora ( R , × ) es un monoide conmutativo, con un 1 (es decir, 0 ∈ R ). Esto claramente no es distributivo: 1 × ( 1 + 1 ) = 3 ≠ 1 × 1 + 1 × 1 = 4 .

Dejar ( R , + ) = Z / 3 Z y definir ⋅ ser la única operación conmutativa R × R → R tal que

[ 0 ] ⋅ a = [ 0 ] para todos a

[ 1 ] ⋅ a = a para todos a

[ 2 ] ⋅ [ 2 ] = [ 0 ]

Puedes comprobar eso ( R , ⋅ ) es un monoide conmutativo, pero la ley de distributividad no se cumple porque

[ 2 ] ⋅ [ 1 ] + [ 2 ] ⋅ [ 1 ] = [ 2 ] + [ 2 ] = [ 1 ] ≠ [ 0 ] = [ 2 ] ⋅ [ 2 ] = [ 2 ] ⋅ ( [ 1 ] + [ 1 ] ) .

Este no es el ejemplo más pequeño posible ya que ( Z / 2 Z , + , + ) es más pequeño..
¡Oh, buen punto! Gracias, corregiré mi respuesta.
El ejemplo más pequeño posible con 0 ≠ 1 es ( Z / 2 Z , + , + ′ ) dónde a + ′ b = a + b + 1 .
No puede convertirse en anillo porque la ley de distribución no se cumple
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