Clasifica los monoides que son generados por un elemento.

Question

Clasifica los monoides que son generados por un elemento.

monoide
semigrupos
Matemáticas
teoría de grupos
álgebra abstracta

BCLC

Álgebra de Michael Artin Exer 2.M.4

M.4. Un semigrupo S es un conjunto con una ley de composición asociativa y con una identidad. No se requiere que los elementos tengan inversos, y la Ley de Cancelación no necesita cumplirse. Se dice que un semigrupo S es generado por un elemento s si el conjunto $\{1, s, s^2, . . .\}$ de potencias no negativas de s es igual a S. Clasifica los semigrupos que son generados por un elemento.

Parece que lo que Artin llama semigrupos es lo que Wiki llama monoides .

¿Cómo hace uno para hacer esto? Basado en Exer 2.M.3 (*), creo que tenemos que tomar casos sobre las posibles propiedades $s$ podría tener. Basado en Wiki , creo que los monoides generados por 1 elemento son solo el monoide trivial. ¿Es esto correcto? Creo que el problema es que si algún elemento no tiene un inverso, entonces obtenemos $\{s,s^2,...\}$ sin elemento de identidad $1$ .

(*) Ejercicio 2.M.3

Theo Bendit

La definición utilizada en Wiki y la dada en M.4. son diferentes. Dicho

s

$s$ genera un semigrupo

S

$S$ en el sentido de M.4. es equivalente a decir

{1, s}

$\lbrace 1, s \rbrace$ genera el monoide

S

$S$ en el sentido de Wiki.

BCLC

@TheoBendit, espera, sé que el semigrupo en wiki es diferente del semigrupo en artin, pero ¿el monoide en wiki también es diferente del semigrupo en artin?

Derek Holt

Se explica en la pregunta qué significa que un monoide sea generado por un solo elemento. En general, el submonoide

S

$S$ de un monoide

M

$M$ generado por un subconjunto de

M

$M$ contiene el elemento de identidad por definición; tiene que hacerlo para ser un submonoide. ¿Por qué no simplemente tratar de responder la pregunta tal como está escrita en lugar de especular sobre una terminología diferente? Aproximadamente, tal monoide es infinito con todas las potencias no negativas de

s

$s$ distinto, o usted elige

n > m

$n>m$ mínimo con

s^{n} = s^{m}

$s^n=s^m$ .

BCLC

@DerekHolt En realidad, no sé cómo hacer esto. Esperaba que una respuesta me ayudara a entender la pregunta.

Derek Holt

Más o menos lo he respondido en mi comentario. Escribiré una respuesta más tarde.

BCLC

@DerekHolt gracias! Espéralo.

Respuestas (1)

Clasifica los monoides que son generados por un elemento.

La definición utilizada en Wiki y la dada en M.4. son diferentes. Dicho $s$ genera un semigrupo $S$ en el sentido de M.4. es equivalente a decir $\lbrace 1, s \rbrace$ genera el monoide $S$ en el sentido de Wiki.
@TheoBendit, espera, sé que el semigrupo en wiki es diferente del semigrupo en artin, pero ¿el monoide en wiki también es diferente del semigrupo en artin?
Se explica en la pregunta qué significa que un monoide sea generado por un solo elemento. En general, el submonoide $S$ de un monoide $M$ generado por un subconjunto de $M$ contiene el elemento de identidad por definición; tiene que hacerlo para ser un submonoide. ¿Por qué no simplemente tratar de responder la pregunta tal como está escrita en lugar de especular sobre una terminología diferente? Aproximadamente, tal monoide es infinito con todas las potencias no negativas de $s$ distinto, o usted elige $n>m$ mínimo con $s^n=s^m$ .
@DerekHolt En realidad, no sé cómo hacer esto. Esperaba que una respuesta me ayudara a entender la pregunta.
Más o menos lo he respondido en mi comentario. Escribiré una respuesta más tarde.

Derek Holt · Answer 1

Si el $s^i$ son distintos para todos $i \ge 0$ , entonces $S$ es el monoide infinito $\{1,s,s^2,s^3,\ldots \}$ .

De lo contrario, existe una más pequeña $n$ tal que $s^n = s^m$ para algunos $m$ con $0 \le m < n$ . En ese caso, $S$ es finito de orden $n$ , y $S = \{ 1,s,s^2,\ldots,s^{n-1}\}$ . Entonces, para enteros no negativos $a<b$ , tenemos $s^a = s^b$ si y solo si $a \ge m$ y $(n-m)|(b-a)$ . Entonces $1,s,\ldots,s^{m-1}$ se determinan únicamente como poderes de $s$ , pero entonces los poderes superiores de $s$ repetir cíclicamente.

Observe que los distintos valores de $n$ y $m$ dan lugar a monoides no isomorfos. En el caso $m=0$ , obtenemos el grupo cíclico de orden $n$ . Cuando $m>0$ , $s$ no es igual a una potencia de $s^k$ para cualquier $k>0$ , entonces $s$ es el único generador.

Gracias Derek Holt! Luego analizaré más. Por ahora, ¿diría que Exer 2.M.5 es una especie de pista hacia Exer 2.M.4? Me doy cuenta de que parte de su respuesta es parte de una posible prueba del Ejercicio 2.M.5 (que es similar a probar que los campos primos multiplicativos son grupos o algo así, mientras que otras pruebas involucran funciones sobreyectivas o inyectivas con inversas a la izquierda o a la derecha).
Derek: ¿Puedes darme un ejemplo de $\quad s \in ({\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}},*) \text{ / modulo-}j \text{ multiplication}\quad$ dónde $m \gt 1$ y $0 \notin \langle s \rangle$ ?
Lo siento, pero no puedo entender tu pregunta en absoluto. El elemento $s$ en la respuesta a la pregunta es un elemento de un monoide, no el grupo multiplicativo de números enteros mod $j$ . Y $0 \not\in \langle s \rangle$ no tiene sentido
Derek - El conjunto de todos los mod $j$ residuos, ${\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}}$ , se cierra bajo la multiplicación '*'; forma un monoide que contiene $j$ elementos y $[0] \in {\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}}$ . Si $s \in {\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}}$ entonces $\langle s \rangle = \{s^0,s^1,s^2,\dots\} \quad$ .cualquier información/enlace que me pueda ofrecer será apreciada...
Mi motivación inicial para estos comentarios/preguntas: $\quad$ en wolframio $\quad \text{x mod 84 where x in [10^0,10^1, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5, 10^6, 10^7,10^8]} \quad$ da $\quad 1, 10, 16, 76, 4, 40, 64, 52, 16 \quad$ y ahora puede usar fórmulas / vea el ejemplo (9) para la estructura de expansión decimal de, digamos, $\frac{1}{84}$ . (acabo de encontrar esto hoy)

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Derek Holt

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Un MMM monoide finito es un grupo si y solo si tiene un solo elemento idempotente

Todo semigrupo inverso es un grupo.

La sobreyectividad de las traslaciones derecha e izquierda implica que el semigrupo es de hecho un grupo

problemas 12 y 13, sec. 2.3, en TOPICS IN ALGEBRA de Herstein, 2.ª ed.: La existencia de solo la identidad del lado derecho y los inversos del lado derecho son suficientes

¿Estos axiomas grupales unilaterales “ultradébiles” garantizan un grupo?

ejemplo de monoides

¿Este axioma particular sobre un semigrupo garantiza que es un grupo?

¿Es el semigrupo tal que ∀x (x∈S→∃y (y∈S∧∀z (z∈S→zxy=z)))∀x (x∈S→∃y (y∈S∧∀z (z un grupo ?

¿Es un grupo un semigrupo GGG con identidad izquierda e inversa derecha?

Demostrando que si el semigrupo (A, *) es un grupo, entonces la relación es una relación de equivalencia.