Un MMM monoide finito es un grupo si y solo si tiene un solo elemento idempotente

Si$M$no es un grupo, entonces hay un elemento$a \in M$sin inversa. Desde$M$es finito, existe$n>m>0$con$a^n=a^m$. Ahora puedes encontrar una potencia de$a$que es idempotente, y no puede ser la identidad, porque$a$no tiene inversa.

Suponer que$a^m=a^n$con$n>m$, y por lo tanto$a^m = a^{m+(n-m)}$.

Afirmamos que$a^m=a^{m + k(n-m)}$para todos$k \ge 0$, y demostramos esto por inducción sobre$k$. Hemos visto que es cierto para$k=0,1$. Entonces para$k>1$, tenemos, usando la hipótesis inductiva para$k-1$,

ahora elige$k$suficientemente grande que$t := m + k(n-m) \ge 2m$. Luego, multiplicando ambos lados de$a^m=a^t$por$a^{t-2m}$, obtenemos$a^{t-m}=a^{2(t-m)}$, entonces$a^{t-m}$es idempotente.

Por ejemplo, si$a^7=a^9$, entonces$a^7=a^{15}$y multiplicando por$a$da$a^8=a^{16}$, entonces$a^8$es idempotente.

Tal vez una forma un poco más clara de decirlo. Asumir$x^a = x^{a+b}$con$b >0$. Entonces para cualquier número entero$u$,$k$, tenemos$x^{a+u} = x^{a+u + kb}$

Así que tenemos que encontrar$u$y$k$tal que$bk = a+u$. Eso es fácil. Llevar$b$tal que$bk \geq a$y deja$u = bk-a$. Entonces$x^{a+u}$es idempotente.