No hay isomorfismo natural entre el funtor de torsión y la identidad.

Dejar$\mathcal{C}$ser la subcategoría completa de$\textbf{Ab}$cuyos objetos son grupos abelianos finitamente generados. Dejar$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}$ser el funtor que envía$A\in\mathcal{C}$a$A_{\text{tor}}\oplus A/A_{\text{tor}}$. Quiero mostrar que no hay isomorfismo natural.$F\rightarrow\text{id}_{\mathcal{C}}$.

En aras de la contradicción, supongamos que existe un isomorfismo natural$u:F\rightarrow\text{id}_\mathcal{C}$. Para cada$A\in\textbf{Ab}$, dejar$v(A):=\iota_{A,2}\circ\pi_A$dónde$\pi_A:A\rightarrow A/A_{\text{tor}}$es la sobreyección canónica y$\iota_{A,2}:A/A_{\text{tor}}\rightarrow A_{\text{tor}}\oplus A/A_{\text{tor}}$es la inyección canónica. Claramente$v:\text{id}_{\mathcal{C}}\rightarrow F$es una transformación natural. Así tenemos$u\circ v:\text{id}_{\mathcal{C}}\rightarrow\text{id}_{\mathcal{C}}$y asi existe$n\in\mathbb{Z}$tal que

$$u(A)\circ v(A)=n\cdot\text{id}_A$$ para todos$A\in\mathcal{C}$. De hecho$n=u(\mathbb{Z})(v(\mathbb{Z})(1))=u(\mathbb{Z})(0,\pi_{\mathbb{Z}}(1))$.

Para obtener una contradicción, es suficiente mostrar que necesariamente$n=\pm1$. ¿Cómo probar esto?

Editar: Tenga en cuenta que$A_{\text{tor}}$es el subgrupo de torsión del grupo abeliano$A$.