Pregunta sobre grupos abelianos finitamente generados: A/H≅GA/H≅GA/H \cong G

Tenemos el grupo abeliano finitamente generado

GRAMO := ⟨ X 1 , X 2 , X 3 : X 1 + X 2 + 4 X 3 = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 GRAMO ⟩ .
Dejar A := ⟨ F 1 , F 2 , F 3 ⟩ ser un grupo abeliano libre con rango 3 . Si H := ⟨ F 1 + F 2 + 4 F 3 , F 1 + 4 F 2 + F 3 , 4 F 1 + F 2 + F 3 ⟩ , queremos mostrar que
A / H ≅ GRAMO .
Definimos la función ϕ : A ⟶ GRAMO ,   a = k 1 F 1 + k 2 F 2 + k 3 F 3 ↦ ϕ ( a ) := k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 . Y no es difícil ver que se trata de un epimorfismo de grupo. Pero me enfrenté a un problema en el kernel:

Queremos demostrar que ker ⁡ ϕ = H .

' ' ⊇" tenemos eso ϕ ( F 1 + F 2 + 4 F 3 ) = X 1 + X 2 + 4 X 3 = 0 GRAMO ,   ϕ ( F 1 + 4 F 2 + F 3 ) = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 0 GRAMO ,   ϕ ( 4 F 1 + F 2 + F 3 ) = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 GRAMO ⟹ F 1 + F 2 + 4 F 3 , F 1 + 4 F 2 + F 3 , 4 F 1 + F 2 + F 3 ∈ ker ⁡ ϕ ⟹ ⟨ F 1 + F 2 + 4 F 3 , F 1 + 4 F 2 + F 3 , 4 F 1 + F 2 + F 3 ⟩ = H ⊆ ker ⁡ ϕ .

' ' ⊆" Dejar z ∈ ker ⁡ ϕ = { a ∈ A : ϕ ( a ) = 0 GRAMO } . Entonces, z ∈ A ⟺ z = k 1 F 1 + k 2 F 2 + k 3 F 3 ,   k i ∈ Z y k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 = 0 GRAMO .

Preguntas

  1. ¿Cómo podríamos mostrar ahora que z ∈ H ?

  2. El grupo

    GRAMO = { m 1 X 1 + m 2 X 2 + m 3 X 3 : m 1 , m 2 , m 3 ∈ Z  y  X 1 + X 2 + 4 X 3 = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 GRAMO } ,
    ¿bien?

Gracias.

Si k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 2 = 0 GRAMO , ¿cuáles son los posibles valores de k 1 , k 2 , k 3 según la presentación de GRAMO ?
¿Cómo se define el grupo presentado? Es habitual tomar esta construcción del cociente sobre el grupo libre como la definición de presentaciones grupales.
@Javi 1 o 4 ?
@Berci Esta es mi segunda pregunta. ¿Me pierdo algo en la definición?
@Chris básicamente sí, pero puede tomar cualquier combinación de términos de la forma k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 y seguirá siendo 0 GRAMO . Ese es exactamente el grupo abeliano generado por esos términos, H , por definición.
@ Creo que lo extraño en la definición. 1) Son los elementos X 1 , X 2 , X 3 ¿fijado? 2) ¿Es verdadera mi segunda pregunta?
Sí, X 1 , X 2 , X 3 está arreglado. Su definición establecida en 2), especialmente las condiciones allí con X 1 , X 2 , X 3 no está claro. En clase, ¿cómo se definió la presentación si no por el cociente? ¿Quizás por una propiedad universal?
@Berci En realidad, encontré este ejercicio en algunas notas de conferencias anteriores, así que no tengo la definición. Y lo unico que tengo es el grupo abelian GRAMO := ⟨ X 1 , X 2 , X 3 : X 1 + X 2 + 4 X 3 = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 GRAMO ⟩ . Y en este momento estoy tratando de entender esta definición. ¿Podría informarme qué es este conjunto?
Por lo general, se define por esta misma construcción. A / H .
Utilice un título más descriptivo.

Respuestas (1)

En general, la presentación del grupo GRAMO = ⟨ X i | τ j = 0 ⟩ , dónde τ j son términos lineales usando variables X i 's, significa que GRAMO es generado por los elementos X i y exactamente las relaciones dadas, y sus consecuencias se satisfacen en GRAMO . Para que, siempre que τ ( . . X i . . ) = 0 en GRAMO por un término τ , debe ser una consecuencia de las relaciones dadas.

Observando que las consecuencias en este caso son sólo Z -combinaciones lineales, podemos hacer una definición precisa del grupo presentado como el cociente F ( . . X i . . ) / ( . . a j . . ) dónde F denota el grupo abeliano libre.

Dicho esto, 1. no requiere prueba.

La presentación tiene la importante propiedad universal, similar a la de los grupos libres, de que siempre que un grupo abeliano Y se da con elementos y i ∈ Y tal que todo τ j ( . . X i . . ) = 0 espera, hay un homomorfismo de grupo único F : GRAMO → Y con F ( X i ) = y i .
También es posible definir la presentación del grupo por esta propiedad.

Para 2., su notación de conjunto no está clara: los elementos X 1 , X 2 , X 3 no varían, y viven dentro del conjunto que está a punto de definir.

Tenga en cuenta también que las presentaciones grupales se generalizan muy bien a cualquier clase de estructuras algebraicas definidas ecuacionalmente.

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