¿La propiedad de cancelación para un grupo significa algo diferente a la propiedad de cancelación para un dominio integral?

Recientemente comencé a aprender sobre los anillos y algunas de sus características elementales/propiedades básicas. Uno de los conceptos que me tomó por sorpresa fue la afirmación de que los dominios integrales ordenados infinitos no son necesariamente campos. Lo pensé y vi que Z fue un ejemplo concreto de esto porque aparte de los elementos 1 , − 1 , ningún otro elemento tiene inversos multiplicativos.

Los dominios integrales se definen como: un anillo conmutativo con unidad que tiene la propiedad de cancelación ⟺ anillo conmutativo con unidad que no tiene divisores de 0

Los campos se definen como: un anillo conmutativo con unidad en el que cada elemento distinto de cero es invertible

Del conocimiento previo sobre los grupos, la prueba de que los grupos exhiben el producto de cancelación empleó una estrategia que invocó elementos inversos. (es decir a X = b X ⟹ a X X − 1 = b X X − 1 ⟹ a = b )

Si un dominio integral particular no es un campo (y por lo tanto exhibe la propiedad de cancelación pero no todos los elementos tienen inversos multiplicativos), ¿significa eso que la propiedad de cancelación de algunos dominios integrales es fundamentalmente diferente a la propiedad de cancelación de un grupo ?

Pregunto esto porque la estrategia de prueba para demostrar que tal dominio integral exhibe la propiedad de cancelación debe ser fundamentalmente diferente de la estrategia que se usa en la prueba de grupo (porque los elementos invertibles generalmente están ausentes).

Un dominio integral (o anillo general) ( R , + , ⋅ ) es un grupo bajo + suma. El grupo ( R , + ) exhibe la propiedad de cancelación con respecto a + , pero, como usted señaló, no necesariamente con respecto a la multiplicación ⋅ .
Puede ser útil mirar la página de wikipedia si aún no lo ha hecho; tenga en cuenta que es una propiedad que tiene cualquier operación, suma o multiplicación (o cualquier otra cosa).
@nhmwhhxx Entonces estoy un poco confundido. En mi libro, me dicen que un dominio integral tiene "la propiedad de cancelación". No menciona nada sobre "con respecto a una operación en particular".
Es un poco desafortunado con la terminología, pero implícitamente estoy seguro de que el autor quiere decir 'con respecto a la multiplicación'. Nuevamente, desde la página de wikipedia, la propiedad de cancelación se define para un grupoide con una operación binaria abstracta: en un anillo, tenemos dos operaciones claramente definidas, suma y multiplicación. Por lo tanto, para especificar la propiedad de cancelación se debe (implícitamente en el caso del autor) especificar la operación.

Respuestas (2)

Si nos fijamos en el caso de los números enteros Z , puede probar que tiene la propiedad de cancelación usando el hecho de que no tiene divisores de cero. Sin embargo, muchas personas adoptarían un enfoque que es técnicamente mucho más difícil al argumentar que Z se puede incrustar (como un anillo) en el campo de los números racionales q , en el que se cumple la propiedad de cancelación debido a la existencia de inversas. Este otro argumento también se puede extender a dominios integrales arbitrarios, considerando el campo de fracciones del dominio integral.

Si esto hace que la propiedad de cancelación sea fundamentalmente la misma para campos y dominios integrales, lo dejaré para que usted lo juzgue. Creo que el punto importante es que, incluso si tales construcciones son posibles, de ninguna manera son necesarias para probar la propiedad de cancelación.

Solo como aclaración, dados los comentarios que @nhmwhhxx hizo anteriormente, cuando mi libro dice "los dominios integrales exhiben la propiedad de cancelación"... la interpretación implícita es que "los dominios integrales exhiben la propiedad de cancelación PARA LA operación de MULTIPLICACIÓN". La razón por la que está implícita es porque ya se entiende que, por definición, la operación de suma del anillo es un grupo... y por lo tanto, un anillo siempre satisface la propiedad de cancelación de la operación de suma. ¿Es eso correcto?
Si, eso es correcto. Del mismo modo, cuando se dice que un anillo es conmutativo, se quiere decir que la multiplicación es conmutativa, ya que la suma ya es conmutativa por definición.
@Krup'a: No entiendo esta respuesta. ¿Qué es "técnicamente mucho más difícil" sobre incrustar Z en los números racionales?
Si aún no ha construido los números racionales, primero tendría que construirlos a partir de los números enteros, lo cual es mucho más complicado (más de dos líneas de trabajo) que hacer la prueba estándar usando el hecho de que Z no tiene divisores de cero (dos líneas de trabajo). Por supuesto, si ya sabes que existen los racionales, no es nada complicado. Por el contrario, para un dominio integral arbitrario, generalmente no "conoces" el campo de las fracciones. Podrías construirlo para demostrar la propiedad de cancelación, pero eso es conceptualmente un gran desvío para algo que en realidad es muy fácil.

Para probar que en un anillo conmutativo ( R , + × ) , se cumple la propiedad de cancelación, no se puede suponer que todo elemento distinto de cero tiene un inverso; no estas asumiendo que ( R ∖ { 0 } , × ) es un grupo (si lo fuera, su anillo conmutativo sería un campo.

Por ejemplo, q [ X ] es un dominio integral al verificar esto significa, en particular, que debe verificar que

PAG ( X ) , q ( X ) ∈ q [ X ] ∖ { 0 } ⟹ PAG ( X ) q ( X ) ≠ 0.

¿La propiedad de cancelación para un grupo significa algo diferente a la propiedad de cancelación para un dominio integral?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v