Es bien sabido que es un ejemplo de un grupo abeliano que no es isomorfo al grupo aditivo de ningún anillo. Pero mi pregunta es, ¿existe un monoide que no sea isomorfo al monoide multiplicativo de cualquier anillo?
¿O siempre puedes encontrar una operación binaria? que convierte un monoide en un anillo?
Bueno, una condición necesaria obvia para un monoide admitir una estructura de anillo es la existencia de un elemento tal que para todos (un elemento absorbente ). Esto no es cierto para la mayoría de los monoides (por ejemplo, no es cierto para ningún grupo no trivial).
Sin embargo, incluso esta condición no es suficiente. Por ejemplo, considere el monoide con operación (entonces es el elemento absorbente y es el elemento de identidad). Esto no admite una estructura de anillo, ya que el único anillo con elementos hasta el isomorfismo es y no es multiplicativamente isomorfo a (el elemento de no-identidad no absorbente de tiene un inverso, pero el elemento de no identidad no absorbente de no es).