Un grupo st g1∗g2∗g1=g2g1∗g2∗g1=g2g_1*g_2*g_1=g_2 para cada g1,g2g1,g2g_1,g_2 en el grupo, es abeliano. [duplicar]

Ha pasado un tiempo desde que hice cosas con grupos. Tengo un cierto grupo que tiene la siguiente propiedad:

gramo 1 ∗ gramo 2 ∗ gramo 1 = gramo 2

para cada gramo 1 , gramo 2 en el grupo

Estoy tratando de probar su abelian. Pero me enredé un poco aquí.

Digamos que multiplico ambos lados desde la derecha por gramo 2 − 1

Entonces obtengo:

gramo 1 ∗ gramo 2 ∗ gramo 1 ∗ gramo 2 − 1 = 1

así que sé que

( gramo 1 ∗ gramo 2 ) − 1 = gramo 1 ∗ gramo 2 − 1

Pero no estoy seguro de adónde me lleva esto.

Otra opción que probé es mirar gramo 2 2 , pero no me llevó a ninguna parte.

Siento que voy en círculos y que no es algo complicado, solo que me falta algo.

Con gramo 2 = mi este es el duplicado.

Respuestas (2)

si siempre tienes gramo 1 gramo 2 gramo 1 = gramo 2 , entonces, en particular, gramo 1 mi gramo 1 = mi , Lo que significa que gramo 1 2 = mi . Entonces, gramo 1 − 1 = gramo 1 , para cada gramo 1 ∈ GRAMO . Así que si gramo 1 , gramo 2 ∈ GRAMO ,

gramo 2 = gramo 1 gramo 2 gramo 1 = gramo 1 gramo 2 gramo 1 − 1 ,
y por lo tanto gramo 1 gramo 2 = gramo 2 gramo 1 .

Dejar a ∈ GRAMO . Entonces a mi a = mi por la propiedad, de modo que a 2 = mi . Ahora para cualquier X , y ∈ GRAMO , tenemos

( X y ) 2 = mi = mi mi = X 2 y 2 ,

entonces si multiplicamos a la izquierda por X − 1 y a la derecha por y − 1 , obtenemos

y X = X y .

Por eso GRAMO es abeliano.

Un grupo st g1∗g2∗g1=g2g1∗g2∗g1=g2g_1*g_2*g_1=g_2 para cada g1,g2g1,g2g_1,g_2 en el grupo, es abeliano. [duplicar]
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