Demostrar que el conjunto de unidades de un anillo es un grupo cíclico de orden 4

Tuviste la idea correcta, luego te desviaste. Lo que has visto es que$\overline 7^2=\overline 9.$De esto se sigue, en efecto, que$\overline 7^2=\overline{29},$ya que estamos pensando en módulo $10.$

Desde allí,

Como alternativa, podríamos demostrar que$\overline 3^2=\overline 9,$ $\overline 3^3=\overline 7,$y eso$\overline 3^4=\overline 1,$lo que podría decirse que es aún más simple, ya que$3^2=9,$ $3^3=27,$y$3^4=81$son datos matemáticos que probablemente conoces.

Mi suposición es que necesitamos mostrar que el grupo puede ser generado por algún elemento en el conjunto, ¿necesito mostrar que las potencias de algún elemento pueden generar todos los elementos en las otras clases de congruencia?

Es suficiente si encuentra un elemento tal que sus poderes cubran exactamente al grupo. Le daría$\bar 3$un intento.

Por ejemplo$7^2 = 49 \equiv 9 \bmod 10$, es decir, usando$7$podemos generar un elemento en la clase de congruencia de$9$, pero no puede generar$29$por ejemplo de cualquier poder de$7$, entonces, ¿es suficiente decir que un elemento es un generador si genera al menos un elemento en todas las demás clases de congruencia?

Editado siguiendo el comentario de Cameron Buie:$\bar 7$realmente funciona, ya que genera$\bar 9$,$\bar 3$y$\bar 1$, en ese orden.

vamos a ver que pasa con$\bar 3$:

• $\bar 3^1 = \bar 3$
• $\bar 3^2 = \bar 9$
• $\bar 3^3 = \bar{27} = \bar 7$
• $\bar 3^4 = \bar{81} = \bar 1$

Esto es suficiente. Por un lado, hemos cubierto todos los elementos del subgrupo. Por otro lado, ahora estamos satisfechos de que$\bar 3^4$es el elemento neutro del grupo, por lo que estamos seguros de que para cualquier número natural$n$,$\bar 3^n = \bar 3^{n \bmod 4}$.