El producto central de dos subgrupos cíclicos de primer orden de potencia para un ppp es isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos de primer orden de potencia

Para dos grupos$G_1, G_2$y dos subgrupos centrales$U_1 \le Z(G_1), U_2 \le Z(G_2)$que son isomorfos por algunos dados$\mu : U_1 \to U_2$el producto central es el grupo

$$(G_1 \times G_2) / D$$ con $D = \{ (u_1, \mu(u_1)^{-1}) : u_1 \in U_1 \}$, es decir, identificamos $U_1$y $U_2$en el producto directo. Obviamente, para los grupos abelianos, cada subgrupo es central. Así que ahora mi pregunta se refiere a este producto y grupos cíclicos.

Dejar$G_i = \langle g_i \rangle$($i = 1,2$) sean grupos cíclicos de orden$p^{a_i}$con$a_1 \ge a_2 > n$. Colocar

$$U_i = \langle g_i^{p^{a_i - n}} \rangle$$ el subgrupo de orden $p^n$de $G_i$. Dejar $\mu$Sea el isomorfismo de $U_1$sobre $U_2$con $$\mu( g_1^{p^{a_1 - n}} ) = g_2^{p^{a_2 - n}}.$$

Entonces el producto central de$G_1$y$G_2$con$U_1$y$U_2$identificado por$\mu$es isomorfo al producto directo de grupos cíclicos de orden$p^{a_1}$y$p^{a_2 - n}$.

Tengo algunos argumentos, pero no los encuentro satisfactorios. Pero publico lo que he hecho.

Mi enfoque: cambié la notación y escribo$\mathbb Z_n$para el grupo cíclico de orden$n$, y denotarlos de forma aditiva con elementos$\mathbb Z_n = \{0,1,\ldots, n-1\}$. Entonces para$G_1 = \mathbb Z_{p^{a_1}}$y$G_2 = \mathbb Z_{p^{a_2}}$tenemos

$$U_1 = \{ 0, p^{a_1 - n}, 2\cdot p^{a_1 - n}, 3\cdot p^{a_1 - n}, \ldots, (p^n -1) \cdot p^{a_1 - n} \} \cong \mathbb Z_{p^n}$$ y similares para $U_2$. Ahora tenemos $$D = \{ (k \cdot p^{a_1 - n}, k \cdot p^{a_2 - n}) : k = 0,1,\ldots, n-1 \}$$ y una clase lateral tiene la forma $$(x,y) + D = \{ (x + k \cdot p^{a_1 - n}, y + k \cdot p^{a_2 - n}) : k = 0,1,\ldots, n - 1 \}.$$ Entonces nosotros tenemos $p^{a_1} \cdot p^{a_2 - n}$diferentes cosets que son $$\begin{array}{cccc} (0,0) + D & (1,0) + D & \ldots & (p^{a_2} - 1, 0) + D \\ (0,1) + D & (1,1) + D & \ldots & (p^{a_2} - 1, 1) + D \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ (0,p^{a_2 - n} - 1) + D & (1, p^{a_2 - n}-1) + D & \ldots & (p^{a_2} - 1, p^{a_2 - n} - 1) \end{array}$$ Primero cada $(x,y)$está contenido en al menos uno de los cosets enumerados anteriormente, para escribir $y = k \cdot p^{a_2-n} + r$con $0 \le r < p^{a_2-n}$, entonces $(x,y) + D = (x - k\cdot p^{a_1}, r) + D$con $x - k\cdot p^{a_1} \in \mathbb Z_{p^{a_1}}$. Además, todas las clases laterales enumeradas son diferentes, porque si $(x, r) + D, (\hat x, \hat r) + D$son dos con $0 \le x,\hat x < p^{a_2}$y $0 \le r,\hat r < p^{a_1 - n}$y $r > \hat r$, entonces $$(x,r) - (\hat x, \hat r) = (x - \hat x, r - \hat r)$$ y $0 < r - \hat r < p^{a_2 - n}$y por lo tanto $r - \hat r$no es divisible por $p^{a_2 - n}$, lo que demuestra que $(x - \hat x, r - \hat r) \notin D$. Entonces, como la adición es por componentes en las clases laterales, podemos "ver" que forman un grupo isomorfo a $\mathbb Z_{p^{a_1}} \times \mathbb Z_{p^{a_2 - n}}$.

Eso es lo mejor que puedo escribir, pero no estoy contento con eso. Creo que es mucho cálculo y "desordenado". Además, simplemente "ver" que son isomorfos parece un poco como un argumento de "agitar la mano". Entonces, ¿quizás alguien tenga una solución elegante y más sólida? No tengo otras ideas?