¿Osciladores acoplados con frecuencia imaginaria?

Question

¿Osciladores acoplados con frecuencia imaginaria?

Física
mecanica clasica
osciladores acoplados
oscilador armónico
formalismo lagrangiano

Espaguetificación cuántica

Un problema típico de la mecánica lagrangiana es un sistema de dos cuerpos acoplados bajo una pequeña oscilación. La forma típica de hacer estos problemas es:

Escribe el Lagrangiano ej. $L(\theta_1, \theta_2, \dot \theta_1, \dot \theta_2)$ .
Expandir todos los términos a segundo orden en pequeñas cantidades.
Usa las ecuaciones de Euler-Lagrange para encontrar la ecuación de movimiento.
hacer el ansatz $\theta_1=Ae^{i\omega t}$ y $\theta_2=Be^{i\omega t}$ .
Resolver $\omega$ al requerir que el determinado de la matriz relevante sea cero.

Este procedimiento generalmente le da una expresión de la forma:

ω_{\pm}^{2} = α \pm β

$\omega_\pm^2=\alpha \pm \beta$ para

α > β

$\alpha \gt \beta$ (ambos tomados como positivos) entonces obtenemos que

ω_{+}

$\omega_+$ pueden ser cualquiera de los dos

\pm | ω_{+} |

$\pm |\omega_{+}|$ pero estos no conducen a soluciones linealmente independientes (ya que

\sin (| ω_{+} |)

$\sin(|\omega_+|)$ no es una forma linealmente independiente

- \sin (| ω_{+} |)

$-\sin(|\omega_+|)$ ), y la solución para

θ_{1}

$\theta_1$ entonces se puede escribir como:

θ_{1} = A_{+} {mi}^{i | ω_{+} | t} + A_{-} {mi}^{i | ω_{-} | t}

$\theta_1=A_+ e^{i|\omega_+|t}+A_- e^{i|\omega_-|t}$ sin embargo cuando

α < β

$\alpha \lt \beta$ la solución para

ω_{+}

$\omega_+$ funciona igual que antes, pero para

ω_{-}

$\omega_-$ tienes

ω_{-} = \pm i | ω_{-} |

$\omega_-=\pm i |\omega_-|$ lo que te da dos soluciones

\exp (| ω_{-} | t)

$\exp(|\omega_-|t)$ y

\exp (- | ω_{-} | t)

$\exp(-|\omega_-|t)$ que son linealmente independientes. Por lo tanto, mi pregunta es, en este caso, ¿cómo escribimos la solución para

θ_{1}

$\theta_1$ dado que solo podemos tener dos constantes de integración pero tener tres soluciones independientes?

Espaguetificación cuántica

@DanielSank Gracias, hice el cambio. Sucede con la amortiguación, también sucede cuando se trabaja en sistemas de coordenadas giratorios. Pero creo que mi método aún debería aplicarse de cualquier manera.

DanielSank

Creo que debería discutir los casos en los que obtiene una frecuencia imaginaria en la publicación, porque esos casos informan las condiciones de contorno del problema que, a su vez, le indican qué soluciones conservar.

Espaguetificación cuántica

@DanielSank ¿Está seguro de que debemos considerar las condiciones de contorno? Las condiciones de contorno se usan para determinar las constantes de integración; si las usamos para determinar qué solución se mantiene y cuál no, entonces efectivamente tenemos una tercera constante de integración.

DanielSank

Sospecho que 1) una de las soluciones no satisface las condiciones de contorno, o 2) las dos exponenciales no son linealmente independientes.

Espaguetificación cuántica

@DanielSank Creo que es lo último, es decir, los exponenciales no son linealmente independientes. es decir los exponentes

\exp (i \sqrt{α + β} t)

$\exp(i \sqrt{\alpha +\beta}t)$ ,

\exp (\sqrt{β - α} t)

$\exp(\sqrt{\beta-\alpha}t)$ , y

\exp (- \sqrt{β - α} t)

$\exp(-\sqrt{\beta-\alpha}t)$ no son linealmente independientes. Esto no me parece obvio, pero todavía no estoy convencido de que podamos usar las condiciones de contorno para determinar cuál mantener.

DanielSank

En un sistema amortiguado, se permite la solución exponencialmente decreciente, pero no la creciente.

Alexey Sokolik

En general, en un sistema de dos osciladores amortiguados obtendrá 4 frecuencias complejas diferentes. Su caso (dos pares de frecuencias mutuamente opuestas) parece degenerado. ¿Tal vez esté relacionado de alguna manera con puntos excepcionales de los hamiltonianos no hermitianos?

Vacío

@DanielSank Un equilibrio inestable tiene frecuencias imaginarias y permite tanto el modo de crecimiento como el modo decreciente que corresponden respectivamente a la partícula que se sale del equilibrio y una partícula que se acerca asintóticamente. En 2 grados de libertad las cosas pueden volverse aún más interesantes. Esto no tiene nada que ver con la disipación. Ver mi respuesta para más.

Respuestas (3)

¿Osciladores acoplados con frecuencia imaginaria?

@DanielSank Gracias, hice el cambio. Sucede con la amortiguación, también sucede cuando se trabaja en sistemas de coordenadas giratorios. Pero creo que mi método aún debería aplicarse de cualquier manera.
Creo que debería discutir los casos en los que obtiene una frecuencia imaginaria en la publicación, porque esos casos informan las condiciones de contorno del problema que, a su vez, le indican qué soluciones conservar.
@DanielSank ¿Está seguro de que debemos considerar las condiciones de contorno? Las condiciones de contorno se usan para determinar las constantes de integración; si las usamos para determinar qué solución se mantiene y cuál no, entonces efectivamente tenemos una tercera constante de integración.
Sospecho que 1) una de las soluciones no satisface las condiciones de contorno, o 2) las dos exponenciales no son linealmente independientes.
@DanielSank Creo que es lo último, es decir, los exponenciales no son linealmente independientes. es decir los exponentes $\exp(i \sqrt{\alpha +\beta}t)$ , $\exp(\sqrt{\beta-\alpha}t)$ , y $\exp(-\sqrt{\beta-\alpha}t)$ no son linealmente independientes. Esto no me parece obvio, pero todavía no estoy convencido de que podamos usar las condiciones de contorno para determinar cuál mantener.
En un sistema amortiguado, se permite la solución exponencialmente decreciente, pero no la creciente.
En general, en un sistema de dos osciladores amortiguados obtendrá 4 frecuencias complejas diferentes. Su caso (dos pares de frecuencias mutuamente opuestas) parece degenerado. ¿Tal vez esté relacionado de alguna manera con puntos excepcionales de los hamiltonianos no hermitianos?
@DanielSank Un equilibrio inestable tiene frecuencias imaginarias y permite tanto el modo de crecimiento como el modo decreciente que corresponden respectivamente a la partícula que se sale del equilibrio y una partícula que se acerca asintóticamente. En 2 grados de libertad las cosas pueden volverse aún más interesantes. Esto no tiene nada que ver con la disipación. Ver mi respuesta para más.

Vacío · Answer 1

Los puntos fijos se tratan de manera más elegante en un formalismo hamiltoniano, así que esto es lo que voy a usar aquí (comentaré brevemente cómo se traduce esto al formalismo lagrangiano al final).

Considere un hamiltoniano $H(\theta_1,\theta_2,p_1,p_2)$ y un punto fijo (equilibrio) en $\theta_{10},\theta_{20},p_{10},p_{20}$ , que se define por $\dot{\theta}_1 = \dot{\theta}_2 = \dot{p}_1 = \dot{p}_2 = 0$ . Teniendo en cuenta las ecuaciones de Hamilton, esto también se puede establecer como $dH=0$ en el punto de equilibrio en el espacio de fases. Si luego tomamos una condición inicial con una pequeña perturbación del equilibrio $\theta_{10} + \delta \theta_1,\theta_{20}+ \delta \theta_2,p_{10}+ \delta p_1,p_{20}+ \delta p_2$ obtenemos un conjunto de ecuaciones para esta perturbación de la forma

\frac{d}{d t} (\begin{matrix} d θ_{1} \\ d {pag}_{1} \\ d θ_{2} \\ d {pag}_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{1} \partial θ_{1}} & \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{1} \partial θ_{2}} & \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{1} \partial {pag}_{2}} \\ - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{1}^{2}} & - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{1} \partial {pag}_{1}} & - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{1} \partial θ_{2}} & - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{1} \partial {pag}_{2}} \\ \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{2} \partial θ_{1}} & \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{2} \partial {pag}_{1}} & \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{2} \partial θ_{2}} & \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{2}^{2}} \\ - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{2} \partial θ_{1}} & - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{2} \partial {pag}_{1}} & - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{2}^{2}} & - \frac{\partial^{2} H}{\partial θ_{2} \partial {pag}_{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix} d θ_{1} \\ d {pag}_{1} \\ d θ_{2} \\ d {pag}_{2} \end{matrix})

$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} \delta \theta_1 \\ \delta p_1 \\ \delta \theta_2 \\ \delta p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 H}{\partial p_1 \partial \theta_1} & \frac{\partial^2 H}{\partial p_1^2 } & \frac{\partial^2 H}{\partial p_1 \partial \theta_2} & \frac{\partial^2 H}{\partial p_1 \partial p_2} \\ -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_1^2} & -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_1 \partial p_1 } & -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_1 \partial \theta_2} & -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_1 \partial p_2} \\ \frac{\partial^2 H}{\partial p_2 \partial \theta_1} & \frac{\partial^2 H}{\partial p_2 \partial p_1 } & \frac{\partial^2 H}{\partial p_2 \partial \theta_2} & \frac{\partial^2 H}{\partial p_2^2} \\ -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_2 \partial \theta_1} & -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_2 \partial p_1 } & -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_2^2} & -\frac{\partial^2 H}{\partial \theta_2 \partial p_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta \theta_1 \\ \delta p_1 \\ \delta \theta_2 \\ \delta p_2 \end{pmatrix}$ Eso parece un poco abrumador, pero puede sustituir su hamiltoniano favorito allí y verá que, por lo general, solo algunos de los componentes de esta matriz de perturbación son distintos de cero. La ecuación diferencial anterior es una ecuación diferencial lineal de la forma

\dot{v} = A v

$\dot{\mathbf{v}} = \mathbf{A} \mathbf{v}$ cuya solución puedes encontrar en casi todos los libros de álgebra lineal.

El conjunto completo de soluciones se encuentra mediante un Ansatz de la forma $\mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 e^{\lambda t}$ . De ahí se saca que las soluciones tienen que tener $\mathbf{v}_0$ un vector propio de la matriz $\mathbf{A}$ con un valor propio posiblemente complejo $\lambda$ . Habrá generalmente cuatro valores propios y cuatro vectores propios linealmente independientes correspondientes de $\mathbf{A}$ .

Ahora, la teoría matemática de la mecánica clásica nos dice que debido a la "estructura simpléctica" de la mecánica clásica, los valores propios se agruparán en algo llamado conjunto loxodrómico. Un conjunto loxodrómico de números en el plano complejo es un conjunto de números que es simétrico bajo reflexiones con respecto a los ejes real e imaginario. Por ejemplo, este es un conjunto loxodrómico de cuatro números

{α + i β, - α + i β, α - i β, - α - i β}

$\{\alpha + i\beta, -\alpha + i\beta, \alpha - i \beta, - \alpha - i \beta \}$ dónde

α, β

$\alpha,\beta$ son números reales. Un punto fijo con este tipo de conjunto de valores propios corresponde a un sistema con una oscilación fuera de control

e^{(α + i β) t}

$e^{(\alpha+i\beta) t}$ . Este caso puede ocurrir solo en dos grados de libertad y más, ¡ no obtendrá la intuición de un grado de libertad! Un caso particular en el que esto puede suceder son los sistemas giratorios, donde la partícula se ve obligada a corrotar y oscilar por algún potencial de atracción, pero también sale en espiral debido a la fuerza centrífuga.

Una de las otras posibilidades para los valores propios es un conjunto loxodrómico "degenerado" de la forma

{α, - α, i β, - i β}

$\{\alpha,-\alpha, i\beta,-i\beta\}$ con

α, β

$\alpha,\beta$ de nuevo reales. Estos corresponden a un sistema donde una perturbación en una dirección provoca una oscilación estable mientras que en la otra dirección es inestable y la trayectoria comienza a desviarse. La simetría loxodrómica de los valores propios corresponde a la reversibilidad del sistema mecánico clásico. Esto significa que para cada movimiento en una dirección general, también puedes encontrar el inverso en algún sentido; para cada

e^{α t}

$e^{\alpha t}$ fugitivo, hay un

e^{- α t}

$e^{-\alpha t}$ aproximación lenta al equilibrio (esto corresponde a una partícula que tiene la energía justa para alcanzar un máximo potencial y se arrastra lentamente hacia él).

Ahora su pregunta: su Ansatz $\theta_1 = A e^{i\omega t}, \theta_2 = B e^{i\omega t}$ corresponde al Ansatz más general $\mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 e^{\lambda t}$ en el formalismo hamiltoniano y también debería darte un conjunto loxodrómico de frecuencias.

Pero ahora debería ver que si tenemos una condición inicial en una posición general y una velocidad cercana al equilibrio, será una combinación lineal de la base de las cuatro direcciones propias linealmente independientes, independientemente de si el conjunto loxodrómico es degenerado o no. -degenerar. (Recuerda que tienes que dar cuatro números $\theta_1,\theta_2,\dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2$ como su condición inicial!!)

Si su condición inicial (y sistema dinámico) es real, la loxodromía del conjunto asegura que sus condiciones iniciales realmente se combinarán en una base real de evoluciones escritas para un conjunto no degenerado de la siguiente manera

\frac{1}{2 i} ({mi}^{(α + i β) t} - {mi}^{(α - i β}) t), \frac{1}{2} ({mi}^{(α + i β) t} + {mi}^{(α - i β}) t), \frac{1}{2 i} ({mi}^{(- α + i β) t} - {mi}^{(- α - i β}) t), \frac{1}{2} ({mi}^{(- α + i β) t} + {mi}^{(- α - i β) t})

$\frac{1}{2i} (e^{(\alpha + i \beta)t} - e^{(\alpha - i \beta})t), \frac{1}{2} (e^{(\alpha + i \beta)t} + e^{(\alpha - i \beta})t), \frac{1}{2i} (e^{(-\alpha + i \beta)t} - e^{(-\alpha - i \beta})t), \frac{1}{2} (e^{(-\alpha + i \beta)t} + e^{(-\alpha - i \beta)t})$ y de manera similar para los conjuntos degenerados. Entonces, aunque las frecuencias pueden volverse complejas mixtas (nota puramente imaginarias o reales) para un sistema con dos o más grados de libertad, las simetrías del sistema mecánico salvan el día y aún obtienes una evolución adecuada no compleja.

Diracología · Answer 2

Oscilaciones libres

En el caso de pequeña oscilación libre alrededor de un equilibrio estable, las frecuencias características del sistema son siempre positivas, $\omega^2=\alpha\pm\beta>0$ .

El lagrangiano de un sistema con $n$ grados de libertad y con un equilibrio estable en $q_0=(q_{0,1},\ldots,q_{0,n})$ Se puede escribir como

L = \frac{1}{2} {\dot{η}}^{T} METRO (q_{0}) \dot{η} + \frac{1}{2} η^{T} V (q_{0}) η,

$L=\frac 12 \dot\eta^TM(q_0)\dot\eta+\frac 12 \eta^TV(q_0)\eta,$ dónde

M_{i j} = \sum_{a = 1}^{N} m_{a} \frac{\partial {\vec{r}}_{a}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial {\vec{r}}_{a}}{\partial q_{j}}

$M_{ij}=\sum_{a=1}^N m_a\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_j}$ y

V_{i j} = \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{j}}

$V_{ij}=\frac{\partial^2V}{\partial q_i\partial q_j}$ son

n \times n

$n\times n$ matrices y

η, \dot{η}

$\eta,\dot\eta$ son

n

$n$ -Matrices de columna de componentes que denotan los pequeños desplazamientos del equilibrio. El primer término del lagrangiano corresponde a la energía cinética por lo que siempre es positivo para cualquier

\dot{η} \neq 0

$\dot\eta\neq 0$ , por eso

M

$M$ es definida positiva . La condición para un equilibrio estable implica que la matriz

V (q_{0})

$V(q_0)$ también es definido positivo, por lo que el segundo término en el lagrangiano es positivo para

η \neq 0

$\eta\neq 0$ .

Lecturas de ecuaciones de movimiento

METRO (q_{0}) \ddot{η} + V (q_{0}) η = 0.

$M(q_0)\ddot\eta+V(q_0)\eta=0.$ Buscamos soluciones del tipo

η = ρ \cos (ω t + ϕ)

$\eta=\rho\cos(\omega t+\phi)$ y luego obtenemos que los vectores característicos

ρ

$\rho$ satisfacer

(V (q_{0}) - ω^{2} METRO (q_{0})) ρ = 0.

$\left( V(q_0)-\omega^2 M(q_0)\right)\rho=0.$ Multiplicando a la izquierda por

ρ^{T}

$\rho^T$ y a la derecha por

ρ

$\rho$ obtenemos

ω^{2} = \frac{ρ^{T} V (q_{0}) ρ}{ρ^{T} METRO (q_{0}) ρ} .

$\omega^2=\frac{\rho^TV(q_0)\rho}{\rho^TM(q_0)\rho}.$ Ya que ambos

V (q_{0})

$V(q_0)$ y

M (q_{0})

$M(q_0)$ son matrices definidas positivas, entonces

ω^{2} > 0

$\omega^2>0$ para cualquier solución no trivial

ρ

$\rho$ .

Si el equilibrio es neutral, es decir, hay fuerzas restauradoras generalizadas en todas las direcciones del espacio de configuración excepto en algunas direcciones donde la fuerza es cero, entonces la matriz $V(q_0)$ es sólo semidefinido positivo . En ese caso, $\omega^2\geq 0$ .

oscilaciones amortiguadas

El formalismo lagrangiano no es adecuado para sistemas disipativos ya que supone que el sistema se describe dadas sus energías cinética y potencial. Sin embargo, para algunos sistemas se puede cambiar adecuadamente el formalismo para incluir fuerzas disipativas. En particular, las fuerzas disipativas proporcionales a las velocidades de las partículas pueden derivarse de la llamada función de disipación $\mathcal F$ . Las ecuaciones de Euler-Lagrange luego leen

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{η}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial η_{i}} + \frac{\partial F}{\partial η_{i}} = 0.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \eta_i}-\frac{\partial L}{\partial \eta_i}+\frac{\partial\mathcal F}{\partial \eta_i}=0.$

La función de disipación es cuadrática en las velocidades y está relacionada con la tasa de energía disipada, lo que significa que no es negativa. Para pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio se puede escribir como

F = \frac{1}{2} {\dot{η}}^{T} F (q_{0}) η,

$\mathcal F=\frac 12 \dot\eta^T F(q_0)\eta,$ y las ecuaciones de los movimientos son

METRO (q_{0}) \ddot{η} + F (q_{0}) \dot{η} + V (q_{0}) η = 0.

$M(q_0)\ddot\eta+F(q_0)\dot\eta+V(q_0)\eta=0.$ A diferencia del caso libre, este sistema no es fácil de resolver porque en general las matrices

M

$M$ ,

F

$F$ y

V

$V$ no se puede diagonalizar simultáneamente. Una excepción ocurre cuando el amortiguamiento también depende de las masas de las partículas, las matrices se pueden diagonalizar simultáneamente y las ecuaciones de movimiento se desacoplan en las coordenadas normales,

{\ddot{ζ}}_{i} + F_{i} {\dot{ζ}}_{i} + ω_{i}^{2} ζ_{i} = 0,

$\ddot\zeta_i+f_i\dot\zeta_i+\omega_i^2\zeta_i=0,$ dónde

f_{i} \geq 0

$f_i\geq 0$ ,

i = 1, \dots, n

$i=1,\ldots,n$ son los valores propios de

F (q_{0})

$F(q_0)$ . Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente usando funciones complejas.

z = z_{0} \exp (- i Ω_{i} t)

$z=z_0\exp(-i\Omega_i t)$ y al final tomando sólo su parte real. taponamiento

z

$z$ en la ecuación de movimiento da

Ω_{i} = \pm \sqrt{ω_{i}^{2} - \frac{F_{i}^{2}}{4}} - i \frac{F_{i}}{2} .

$\Omega_i=\pm\sqrt{\omega_i^2-\frac{f_i^2}{4}}-i\frac{f_i}{2}.$ Si el amortiguamiento es pequeño, podemos despreciar el término cuadrático en

f_{i}

$f_i$ para que la solución tenga la forma agradable

ζ_{i} = C_{i} {mi}^{- i F_{i} t / 2} porque (ω_{i} t + φ_{i}) .

$\zeta_i=C_ie^{-if_it/2}\cos(\omega_it+\varphi_i).$ Si

f_{i}^{2} / 4 \geq ω_{i}^{2}

$f_i^2/4\geq\omega_i^2$ entonces el sistema no oscila en absoluto y estos regímenes se denominan críticamente amortiguados y sobreamortiguados.

Ver los comentarios de arriba, obtenemos negativo $\omega^2$ con presencia de amortiguamiento o cuando se trabaja en un sistema de coordenadas giratorio. No estoy seguro de que el primero sea fácil de manejar usando la mecánica lagrangiana, pero el caso de los sistemas de coordenadas rotatorios sí lo es.
@Quantumspaghettification Todo ese procedimiento que está describiendo es válido para sistemas conservadores. En ese caso, las frecuencias características siempre son positivas por la razón que mostré. Cuando hay amortiguamiento, las cosas no son tan fáciles ya que se asumen las ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas no disipativos. El propio lagrangiano asume un sistema monogénico (sistema descrito por potenciales). En el caso de las coordenadas giratorias, puede usar las coordenadas generalizadas que desee, pero debe escribir el lagrangiano en términos de un sistema inercial.
@Diracology El punto es obviamente que el equilibrio no es estable, la estabilidad no se discute en ninguna parte del OP y, por lo tanto, no es necesario que $\omega^2 > 0$ .
@Diracology Puede escribir su Lagrangiano de la forma que desee y tratarlo y sus ecuaciones correspondientes de manera puramente matemática, la monogenicidad solo se requiere para la equivalencia con el principio de d'Alembert. La transformación en un sistema corrotatorio le permite reducir la dependencia del tiempo de, por ejemplo, un potencial de rotación en el Lagrangiano a una descripción independiente del tiempo, solo tiene que encontrar el potencial generalizado correcto que captura todos los efectos rotacionales (existe).
@Void ¿No sería la estabilidad una condición necesaria para estudiar las oscilaciones? Se requeriría al menos una estabilidad neutra (fuerza de desaparición en una dirección del espacio de configuración mientras que las otras tienen fuerza de restauración). En el caso de estabilidad neutra, $\omega^2\geq 0$ .

Evgeniy Yakubovskiy · Answer 3

Si solo hay dos soluciones independientes (las otras dos soluciones son una función creciente y no tienen significado físico) con las condiciones iniciales respectivas dos decisiones independientes y el coeficiente antes de la solución creciente es cero. Si el valor propio tiene una parte real negativa, entonces la solución está amortiguada. Si la parte real del valor propio es cero, entonces es oscilante.

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