Mecánica lagrangiana: pequeñas oscilaciones en torno a la diagonalización del equilibrio

Las respuestas a sus dos preguntas básicamente se reducen a "porque la energía cinética es solo cero cuando el sistema está en reposo y es positiva en caso contrario". Sin embargo, la respuesta a la segunda pregunta en particular profundiza bastante en las malas hierbas algebraicas lineales, así que abróchense el cinturón.

1. ¿Por qué es$M$invertible?

Esto es básicamente una suposición sobre la forma que toma la energía cinética. En términos generales, generalmente será el caso de que si alguna de nuestras coordenadas está cambiando, entonces habrá algo de energía cinética asociada con este cambio. Si pensamos en la energía cinética$T(\dot{q}_i)$en función de las velocidades, no esperamos que haya direcciones "planas" en el espacio de velocidades; si lo hubiera, esto significaría que podríamos poner el sistema en movimiento de tal manera que no hubiera energía cinética asociada con este movimiento.

Matemáticamente, esta afirmación se ve reforzada por la idea de que$M$no es degenerado . una matriz$M_{ij}$es degenerado si existe un vector distinto de cero$v_i$para cual$\sum_j M_{ij} v_j = 0$. Esto significa, en particular, que$M$tiene un kernel no trivial y, por lo tanto, no es invertible. Por otro lado, si tal vector existe, entonces$\sum_{i,j} M_{ij} v_i v_j = 0$. si pensamos en$v_j$como representación de un vector columna de velocidades, esto implicaría que hay una "dirección plana" en el espacio de velocidades que no queremos: hay alguna combinación de velocidades que da como resultado una energía cinética cero (ya que$T \approx \frac{1}{2} \sum_{i,j} M_{ij} v_i v_j$). Por lo tanto, si no hay direcciones "planas" en el espacio de velocidades, debemos tener una dirección no degenerada$M$, lo que significa que es invertible.

2. ¿Por qué es$M^{-1}K$diagonalizable?

Si bien solo necesitábamos no degeneración para la parte anterior$M$suele obedecer a una condición un poco más fuerte que la de no degenerar; suele ser definida positiva , lo que traducido a términos físicos significa que la energía cinética siempre es positiva a menos que el sistema esté en reposo, en cuyo caso es cero. Matemáticamente, esto se traduce en la siguiente condición en$M$: para todos los vectores$v$,$\sum_{i,j} M_{ij} v_i v_j \geq 0$, con igualdad sólo cuando$v_i = 0$.

Desde$M$es una matriz simétrica, se puede diagonalizar; en otras palabras, existe una matriz ortogonal ($R^T = R^{-1}$) tal que

$$\tilde{M} = R M R^T$$ es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de $M$. Además, y aquí es donde entra en juego la definición positiva, todas estas entradas son positivas. (Una matriz definida positiva simétrica no puede tener un valor propio no positivo, ya que esto implicaría que $M_{ij} w_i w_j \leq 0$para el vector propio correspondiente $w_i$.) Esto significa que hay otra matriz diagonal $S$que satisface $$S^2 = \tilde{M}^{-1}.$$ (Las entradas de $S$son solo $1/\sqrt{\mu_i}$, donde el $\mu_i$son las entradas diagonales de $\tilde{M}$, también conocido como los valores propios de $M$.) En particular, esto significa que $$M^{-1} = R^T \tilde{M}^{-1} R = R^T S^2 R.$$

Entonces, con esto en mente: supongamos que queremos resolver el problema de valores propios

$$M^{-1} K \vec{v} = \lambda \vec{v}.$$ Definir $\vec{v}'$tal que $\vec{v} = R^T S \vec{v}'$. Entonces la ecuación anterior se convierte en $$(R^T S^2 R) K R^T S \vec{v}' = \lambda R^T S \vec{v}'$$ Multiplicando a la izquierda ambos lados por el inverso de $R^T S$, obtenemos $$S R K R^T S \vec{v}' = \lambda \vec{v}'.$$ Pero la matriz del lado izquierdo es simétrica: $(S R K R^T S)^T = S R K R^T S$. En otras palabras, ahora tenemos un problema de valor propio convencional, y habrá $n$vectores propios y valores propios que forman una base para el espacio vectorial.

Nótese, de manera importante, que los vectores propios$\vec{v}$no será ortogonal, como cabría esperar. Esto se debe a que cambiamos la base a través de una transformación no ortogonal ($S$no es una matriz ortogonal), y los vectores que son ortogonales antes de tal transformación no serán necesariamente ortogonales después. Los vectores propios$\vec{v}'$se garantiza que son ortogonales por las propiedades de las matrices simétricas reales, pero los vectores correspondientes$\vec{v} = R^T S \vec{v}'$no será.