Número de grados de libertad del problema del péndulo acoplado

En el capítulo 4 del libro Theoretical Mechanics of Particles and Continua de AL Fetter y JD Walecka, se resuelve el problema de un sistema de péndulo acoplado considerando pequeñas oscilaciones.

Allí, dicen que el número de grados de libertad necesarios para describir el Lagrangiano, son los desplazamientos infinitesimales desde el equilibrio. η 1 y η 2 , correspondiente a cada masa pendular.

Mi pregunta es: ¿ por qué se necesitan dos grados de libertad ? ¿No es el resorte que está unido a ambas masas una restricción de movimiento que reduce los grados de libertad a uno solo ?

En realidad, escriben explícitamente la siguiente ecuación:

d − d 0 = η 2 − η 1

que es la ecuación del cambio de longitud del resorte.

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Respuestas (2)

Si el resorte fuera perfectamente rígido, reduciría el número de grados de libertad como restricción. Como no lo es, necesita las posiciones de ambos péndulos para calcular el estiramiento del resorte.

d = yo 2 ( porque ⁡ θ 1 − porque ⁡ θ 2 ) 2 + ( yo pecado ⁡ θ 1 − yo pecado ⁡ θ 2 + d 0 ) 2 ≈ yo ( θ 1 − θ 2 ) + d 0 .

Entonces, debido a que necesitas dos cantidades para calcular el estiramiento, hay dos grados de libertad. En principio, puede cambiar las variables para escribir uno de los ángulos en términos del estiramiento y la otra variable, pero es probable que eso no le gane nada.

Pero dada la ecuación ( d − d 0 ) = θ 1 − θ 2 , ¿No puedo simplemente reorganizarlo para θ 1 = ( d − d 0 ) + θ 2 entonces puedo escribir el Lagrangiano en términos de solo θ 2 ?
No, cuando haces eso d y θ 2 convertirse en sus dos variables.
claro, pensé d − d 0 era una constante, pero porque d es una función de los ángulos, también se puede tomar como una coordenada generalizada... Ahora está claro, ¡gracias!

Hay ingenuamente tres grados de libertad: la longitud d del resorte, y los ángulos θ 1 y θ 2 . También tenemos la restricción

d − d 0 = yo ( θ 1 − θ 2 ) .
Puede usar esta restricción para eliminar cualquiera de estas variables, dejando dos grados de libertad independientes.

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