Se da un sistema mecánico de múltiples grados de libertad descrito por las siguientes matrices y ecuaciones:
matriz de masa ,
matriz de rigidez ,
desplazamientos ,
Fuerza externa , y
ecuación de movimiento .
Las frecuencias naturales han sido derivados del problema de valores propios lo que llevó a:
.
Sé que la solución de estado estacionario para es
,
así que tengo que calcular el determinante y el adjunto. De hecho, no tengo ningún problema en hacerlo, pero la solución del libro de texto se ve mucho más elegante que la mía y no sé cómo llegar allí.
Mi solución:
,
(solo la tercera columna es relevante para la solución)
Solución de libro de texto:
,
Mi pregunta es: ¿Cómo puedo obtener la solución del libro de texto que está escrita en términos de frecuencias naturales? Me parece que hay alguna manera de expresar principalmente en términos de las frecuencias naturales y luego podría ir desde allí, pero no sé cómo debería hacerlo.
El determinante es bastante fácil de calcular. Ya conoces, esencialmente, los valores propios de la matriz de rigidez; con más precisión, conoce los valores propios de la matriz , porque el son ceros de la ecuacion
El adjunto, por otro lado, no satisface (que yo sepa) ninguna relación tan agradable; en cualquier caso, es una bestia desagradable con la que lidiar y creo que pocas personas lo sustituyen juiciosamente en la definición de en lugar de .
Sospecho que está abrumado por la plétora de variables que oscurecen la simetría ciclométrica fundamental del problema. Puede escalar todos menos uno de ellos fuera de la matriz simétrica M , parte de cuya inversa (simétrica) está buscando, en realidad, redefiniendo
La simetría ciclométrica (Mercedes-Benz) de sus valores propios es entonces evidente a partir de su determinante simple, una vez que reconoce la fórmula del triple ángulo para el seno en él, , mostrando los senos de las 3 raíces de la unidad. Este resultado solo es útil para factorizar el polinomio cúbico a partir del inverso de M , lo que sabes que es posible ya que el adjunto, adj M = det M M es un polinomio en x , y no una razón de polinomios.
Sin embargo, es más fácil encontrar la tercera columna de la inversa (que es todo lo que necesita para su solución) directamente, resolviendo las tres condiciones triviales de solo la tercera columna de . Sabes por la discusión anterior que tu respuesta debe tener un factor inverso de en él, resumiendo las resonancias del sistema, que se comprueba que tiene; y la transposición de esta tercera columna del adjunto es simplemente , que es solo la expresión de su libro de texto y, por supuesto, la suya, una vez que se reemplazan las raíces del determinante, los ceros. La última entrada es , por supuesto.
Aunque, como argumenta Kyle Kanos en el comentario, este es estrictamente un problema de álgebra lineal, las técnicas de simetría empleadas y la metodología utilizada son el pan y la mantequilla de la física, y bien se podría argumentar que los físicos normalmente son más rápidos, si no mejores, en el manejo aquellos.
Exceso académico PD : si, más allá del alcance de su problema, estaba interesado en el inverso completo, inútil aquí, solo necesita explotar la observación trigonométrica anterior y cambiar las variables por última vez, , el dictado esencialmente por la ciclometricidad del problema. Entonces es sencillo observar que el adjunto es realmente elegante,
kyle kanos
Emilio Pisanty
ZeroTheHero