¿Lorentz impulsa las transformaciones de formar un grupo?

En el libro QFT de Ryder, afirma que las transformaciones de impulso de Lorentz NO forman un grupo. Esto se debe a los generadores de impulso. k , es decir, no forman un álgebra cerrada bajo conmutación. Matemáticamente:

(1) [ k i , k j ] = − i ϵ i j k j k .
Esto tiene sentido para mí, ya que los impulsos hacen que el grupo de Lorentz (¿grupo?) No sea compacto (puede seguir potenciando el sistema hasta que alcance C ). ¿Es eso lo que quiere decir?

Creo que las transformaciones de Lorentz componen el grupo restringido de Lorentz (?)
La combinación de dos impulsos de Lorentz da como resultado una rotación seguida de un impulso de Lorentz o un impulso de Lorentz seguido de una rotación, en el orden que prefiera. Vea las respuestas aquí Combinando dos impulsos de Lorentz
Las transformaciones de Lorentz homogéneas adecuadas forman un grupo de 6 paramétricos. ¿Cuáles son las transformaciones de Lorentz homogéneas adecuadas y por qué forman un grupo? Vea aquí Demuestre que cualquier transformación de Lorentz homogénea adecuada puede expresarse como el producto de un impulso por una rotación

Respuestas (1)

Todo esto significa que los refuerzos puros no forman un subgrupo del grupo de Lorentz. Ese conmutador te dice que es posible hacer una serie de impulsos que dan como resultado, en general, una rotación espacial.

Por otro lado, los impulsos más las rotaciones espaciales forman, por supuesto, un subgrupo, específicamente el grupo restringido de Lorentz, generalmente denotado S O + ( 1 , 3 ) .

Es un poco inútil decir que "las transformaciones de Lorentz no forman un grupo", ya que solemos pensar en "las transformaciones de Lorentz" simplemente como los elementos de S O + ( 1 , 3 ) .

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