Diferencia entre el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré

Desafortunadamente, no puede definir el grupo de Poincaré como tal, porque en el tratamiento estándar se define de manera un poco diferente. Lo que definiste es en realidad el grupo de Lorentz. El grupo de Poincaré también contiene traducciones.

El grupo Lorentz$O(1,3)$es el grupo de todos$\Lambda \in GL(4, \mathbb{R})$tal que

con$\eta = \operatorname{diag}(-1,1,1,1)$. Esto puede verse como el grupo de todos los "cambios de marcos ortonormales en el espacio-tiempo".

Recuerde que un marco de referencia ortonormal es un conjunto de vectores$\{e_\mu\}$tal que$g(e_\mu,e_\nu)=\eta_{\mu\nu}$. En ese sentido, dados dos marcos de este tipo, el cambio de marco que toma componentes en uno de ellos a componentes en el otro está dado por estos elementos.

Con esto, el grupo de Lorentz adecuado es$SO(1,3)$lo que básicamente significa que eliges todos los elementos de$O(1,3)$con determinante$+1$. La parte ortocrona solo significa que si$\Lambda \in O(1,3)$tiene$\Lambda^0_0 > 0$entonces conserva el sentido de vectores similares al tiempo.

Algunos autores parecen incluir "por defecto" el requisito ortocrono en el grupo$SO(1,3)$(ver por ejemplo Analysis, Manifolds and Physics de Choquet-Bruhat, vol. 1, página 290). Otros lo dejan aparte, para que acabes con un grupo$SO^+(1,3)$, pero esto es una cuestión de convención.

Ahora el grupo de Poincaré$P(1,3)$(para lo que no conozco ninguna notación estándar) es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz junto con todas las traducciones del espacio-tiempo . En otras palabras, tenemos:

junto con la multiplicación definida por

Piense así: mientras que los elementos de$SO(1,3)$relaciona marcos ortonormales con orígenes coincidentes, elementos de$P(1,3)$también permite el cambio de origen también.

la acción de$SO(1,3)$en el espacio vectorial de Minkowski$\mathbb{R}^{1,3}$(que no debe confundirse con el espaciotiempo plano; este es en realidad el "modelo" para los espacios tangentes del espaciotiempo, que resulta posible identificar con el espaciotiempo mismo en el caso plano) está dado por la multiplicación de matriz habitual, es decir, dado$\Lambda \in SO(1,3)$tienes:

Por otra parte, la acción de$P(1,3)$en el espacio vectorial de Minkowski$\mathbb{R}^{1,3}$se caracteriza por el hecho de que dado$(a,\Lambda)\in P(1,3)$tienes:

No sé si ayuda, pero a la gente le gusta comparar esto con el caso en$\mathbb{R}^3$donde tienes el grupo de rotación$SO(3)$y el grupo euclidiano$E(3)$que comprende rotaciones en$SO(3)$con traducciones en$\mathbb{R}^3$formando así el grupo de los movimientos rígidos. Esto podría verse como la construcción análoga en el espacio-tiempo.

EDITAR: con respecto a la construcción de productos semidirectos mencionada en los comentarios, recuerde que los grupos dados$N,H$con$\varphi : H\to \operatorname{Aut}(N)$un homomorfismo en el grupo de automorfismos de$N$, podemos construir el producto semidirecto como el conjunto$N\times H$con el producto:

el grupo resultante se denota$N\rtimes H$. En el caso particular es claro que tenemos esta construcción con$N = \mathbb{R}^{1,3}$,$H = SO(1,3)$y$\varphi : SO(1,3)\to \operatorname{Aut}(\mathbb{R}^{1,3})$dada por$\varphi(\Lambda)(v) = \Lambda v$. De este modo