Combinando dos impulsos de Lorentz

Question

Combinando dos impulsos de Lorentz

Kekks

¿Es posible expresar dos aumentos de Lorentz? $A_x(\beta)$ y $A_y(\beta)$ a lo largo del eje x/y como un impulso descrito por $A(\overrightarrow \delta)$ ?

Para responder a esto, comienzo definiendo $\theta \equiv \arctan\left(\beta\right)$ y $\beta \equiv v/c ,$ entonces:

\begin{aligned} A_{X} (β) & = [\begin{matrix} aporrear (θ) & pecado (θ) & 0 \\ pecado (θ) & aporrear (θ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ A_{y} (β) & = [\begin{matrix} aporrear (θ) & 0 & pecado (θ) \\ 0 & 1 & 0 \\ pecado (θ) & 0 & aporrear (θ) \end{matrix}] \\ A (\vec{d}) & = [\begin{matrix} γ & γ d^{1} & γ d^{2} \\ γ d^{1} & 1 + B_{11} & B_{12} \\ γ d^{2} & B_{21} & 1 + B_{22} \end{matrix}] \\ B_{i j} & = \frac{γ - 1}{d^{2}} β_{i} d_{j} \end{aligned}

$\begin{align} A_x(\beta) &= \begin{bmatrix} \cosh(\theta) & \sinh(\theta) & 0 \\ \sinh(\theta) & \cosh(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\[10px] A_y(\beta) &= \begin{bmatrix} \cosh(\theta) & 0 & \sinh(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sinh(\theta) & 0 & \cosh(\theta) \end{bmatrix} \\[10px] A(\overrightarrow \delta) &= \begin{bmatrix}\gamma & \gamma \delta^1 & \gamma \delta^2 \\ \gamma \delta^1 & 1+B_{11} & B_{12} \\ \gamma \delta^2 & B_{21} & 1+B_{22} \end{bmatrix} \\[10px] B_{ij} &= \frac{\gamma -1}{\delta^2}\beta_i\delta_j \end{align}$

Primero calculé:

A_{y} (β) * A_{X} (β) = [\begin{matrix} {aporrear}^{2} (β) & aporrear (β) * pecado (β) & pecado (β) \\ pecado (β) & aporrear (β) & 0 \\ aporrear (β) * pecado (β) & {pecado}^{2} (β) & aporrear (β) \end{matrix}]

$A_y(\beta)*A_x(\beta) = \begin{bmatrix} \cosh^2(\beta) & \cosh(\beta)*\sinh(\beta) & \sinh(\beta) \\ \sinh(\beta) & \cosh(\beta) & 0 \\ \cosh(\beta)* \sinh(\beta) & \sinh^2(\beta) & \cosh(\beta) \end{bmatrix}$ entonces desde

B_{i j} = B_{j i},

$B_{ij}=B_{ji} ,$ yo obtengo

{pecado}^{2} (θ) = 0 \Rightarrow θ = 0 \Rightarrow v = 0 .

$\sinh^2\left(\theta\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta=0 \quad\Rightarrow\quad v=0 \,.$

Eso significaría que no es posible expresar dos impulsos posteriores en $x\text{-}$ y $y\text{-}$ dirección como un impulso combinado. Esto me parece un poco extraño y me pregunto si cometí un error en mi cálculo.

natural

¡Bienvenido a SE.Physics! Edité en un poco de formato. Por favor, siéntase libre de editarlo para hacer cualquier corrección. En particular, leo las definiciones después del bloque de comillas como su propio trabajo en lugar de algo proporcionado por la declaración del problema, que espero sea una interpretación correcta.

Respuestas (3)

Combinando dos impulsos de Lorentz

¡Bienvenido a SE.Physics! Edité en un poco de formato. Por favor, siéntase libre de editarlo para hacer cualquier corrección. En particular, leo las definiciones después del bloque de comillas como su propio trabajo en lugar de algo proporcionado por la declaración del problema, que espero sea una interpretación correcta.

G. Smith · Answer 1

No es posible. ¡Sin embargo, dos impulsos equivalen a un impulso combinado con una rotación ! Esta sorprendente rotación se conoce como rotación de Thomas-Wigner .

Esta rotación surge porque dos impulsos infinitesimales no conmutan; su conmutador es una rotación infinitesimal. En términos de generadores de rotación $J_i$ y generadores de impulso $K_i$ , el álgebra de Lorentz es

[j_{i}, j_{j}] = ϵ_{i j k} j_{k}

$[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k$

[k_{i}, k_{j}] = - ϵ_{i j k} j_{k} (!)

$[K_i,K_j]=-\epsilon_{ijk}J_k \,\text{(!)}$

[j_{i}, k_{j}] = ϵ_{i j k} k_{k}

$[J_i,K_j]=\epsilon_{ijk}K_k$

¡Esto es realmente interesante! Nunca le di suficiente tiempo para apreciar la asimetría entre las relaciones de conmutación de $J_i$ está siendo cerrado entre $J_i$ s y las relaciones de conmutación de $K_i$ no está siendo así. Muchas gracias a @Kekks también :) ¿Hay una huella interesante de esta asimetría cuando reescribimos? $\mathbb{so}(1,3)$ como $\mathbb{su}(2)\times\mathbb{su}(2)$ dónde $J_i$ y $K_i$ insertar las fórmulas más bien "democráticamente"?
@DvijMankad No estoy seguro de lo que está preguntando, pero mi comprensión de las álgebras de Lie probablemente no sea lo suficientemente sólida como para responder, incluso si lo aclara.
Solo quise decir que cuando vayamos a $\mathbb{su}(2)\times\mathbb{su}(2)$ , construimos sus generadores a partir de $K_i$ arena $J_i$ como $A_i=\frac{J_i+iK_i}{2}$ y $B_i=\frac{J_i-iK_i}{2}$ y luego, estos $A_i$ s forman su propio grupo y también lo hacen $Bi$ s y parecen estar en pie de igualdad a diferencia de $J_i$ arena $K_i$ s. Me estaba preguntando (probablemente ingenuamente) si alguna impronta del hecho de que $J_i$ arena $K_i$ Los que no están en pie de igualdad podrían aparecer en algún lugar de este último formalismo. ¿Quizás en relación con la quiralidad?
@DvijMankad Esa es una pregunta interesante. Si alguien no responde aquí, considere publicarlo como una pregunta.

Frobenius · Answer 2

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RESPUESTA - Partes A y B

$\texttt{C O N T E N T S}$

$\texttt{Abstract}$

$\boldsymbol\S\:1.\texttt{ The Lorentz boosts}$

$\boldsymbol\S\:2.\texttt{ The composition of two Lorentz boosts and its decomposition}$

$\boldsymbol\S\:3.\texttt{ The Lorentz boost of the decomposition}$

$\boldsymbol\S\:4.\texttt{ The rotation of the decomposition}$

$\boldsymbol\S\:5.\texttt{ Figures}$

RESPUESTA - Parte A

Abstracto

Un impulso de Lorentz es una transformación de Lorentz homogénea adecuada.

El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz homogéneas propias es un grupo en composición.

Una transformación de Lorentz homogénea adecuada podría descomponerse únicamente en una rotación seguida de un impulso de Lorentz o en un impulso de Lorentz seguido de una rotación.

Conclusión: La composición de dos impulsos de Lorentz como una transformación de Lorentz homogénea adecuada podría descomponerse únicamente en una rotación seguida de un impulso de Lorentz o en un impulso de Lorentz seguido de una rotación.

Una vez que se asegura que la composición de dos aumentos de Lorentz como una transformación de Lorentz homogénea adecuada podría descomponerse únicamente en un par de impulsos de rotación, el resto de esta respuesta tiene como tema principal determinar las características de este par de transformaciones. Los resultados se darán en párrafos omitiendo los cálculos intermedios que son fáciles pero tediosos y de gran extensión, especialmente los de la rotación.

Referencia 01: Muestre que cualquier transformación de Lorentz homogénea adecuada puede expresarse como el producto de un impulso por una rotación .

Referencia 02: Derivación $\Lambda^{i}_{\hphantom{i}j}$ componentes de la matriz de transformación de Lorentz .

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$\boldsymbol\S$ 1. Los impulsos de Lorentz

En la Figura-01 un sistema inercial $\:\mathrm S'\:$ se traduce con respecto al sistema inercial $\:\mathrm S\:$ con velocidad constante

\begin{matrix} (1-01) & a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), ‖ a ‖ = a \in (0, C) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{a}\boldsymbol{=}\left(\mathrm a_1,\mathrm a_2,\mathrm a_3\right) \,, \qquad \Vert \mathbf{a}\Vert \boldsymbol{=} \mathrm a \in \left(0,c\right) \tag{1-01}\label{1-01} \end{equation}$ La transformación de Lorentz es

\begin{aligned} (1-02a) & X^{'} & = X + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} (a \cdot X) a - γ_{a} a t \\ (1-02b) & t^{'} & = γ_{a} (t - \frac{a \cdot X}{C^{2}}) \\ (1-02c) & γ_{a} & = {(1 - \frac{a^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathbf{x}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}\right)\mathbf{a}\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\mathbf{a}\,t \tag{1-02a}\label{1-02a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm a}\left(t\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{1-02b}\label{1-02b}\\ \gamma_{\mathrm a} & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm a^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{1-02c}\label{1-02c} \end{align}$ en forma diferencial

\begin{aligned} (1-03a) & d X^{'} & = d X + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} (a \cdot d X) a - γ_{a} a d t \\ (1-03b) & d t^{'} & = γ_{a} (d t - \frac{a \cdot d X}{C^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \left(\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}\right)\mathbf{a}\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\mathbf{a}\,\mathrm dt \tag{1-03a}\label{1-03a}\\ \mathrm dt^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm a}\left(\mathrm dt\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{1-03b}\label{1-03b} \end{align}$ y en forma matricial

\begin{matrix} (1-04) & X^{'} = [\begin{matrix} X^{'} \\ C t^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤} & - \frac{γ_{a}}{C} a \\ - \frac{γ_{a}}{C} a^{⊤} & γ_{a} \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ C t \end{matrix}] = L_{a} X \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ c t^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\,\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}}{c}\mathbf{a} \vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}}{c}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} & \hphantom{-}\gamma_{\mathrm a}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ c t\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \mathrm L_{\mathrm a}\mathbf{X} \tag{1-04}\label{1-04} \end{equation}$ dónde

L_{a}

$\:\mathrm L_{\mathrm a}\:$ el verdadero simétrico

4 \times 4

$\:4\times 4\:$ matriz

\begin{matrix} (1-05) & L_{a} \equiv [\begin{matrix} I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤} & - \frac{γ_{a}}{C} a \\ - \frac{γ_{a}}{C} a^{⊤} & γ_{a} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm L_{\mathrm a} \boldsymbol{\equiv} \begin{bmatrix} \mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\,\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}}{c}\mathbf{a} \vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}}{c}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} & \hphantom{-}\gamma_{\mathrm a}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \tag{1-05}\label{1-05} \end{equation}$

En la Figura-02 un sistema inercial $\:\mathrm S''\:$ se traduce con respecto al sistema inercial $\:\mathrm S'\:$ de la Figura-01 con velocidad constante

\begin{matrix} (1-06) & b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}), ‖ b ‖ = b \in (0, C) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{b}\boldsymbol{=}\left(\mathrm b_1,\mathrm b_2,\mathrm b_3\right) \,, \qquad \Vert \mathbf{b}\Vert \boldsymbol{=} \mathrm b \in \left(0,c\right) \tag{1-06}\label{1-06} \end{equation}$ La transformación de Lorentz es

\begin{aligned} (1-07a) & X^{''} & = X^{'} + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} (b \cdot X^{'}) b - γ_{b} b t^{'} \\ (1-07b) & t^{''} & = γ_{b} (t^{'} - \frac{b \cdot X^{'}}{C^{2}}) \\ (1-07c) & γ_{b} & = {(1 - \frac{b^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime\prime}} & \boldsymbol{=} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{b}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\right)\mathbf{b}\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm b}\mathbf{b}\,t^{\boldsymbol{\prime}} \tag{1-07a}\label{1-07a}\\ t^{\boldsymbol{\prime\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm b}\left(t^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{b}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{c^{2}}\right) \tag{1-07b}\label{1-07b}\\ \gamma_{\mathrm b} & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm b^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{1-07c}\label{1-07c} \end{align}$ en forma diferencial

\begin{aligned} (1-08a) & d X^{''} & = d X^{'} + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} (b \cdot d X^{'}) b - γ_{b} b d t^{'} \\ (1-08b) & d t^{''} & = γ_{b} (d t^{'} - \frac{b \cdot d X^{'}}{C^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime\prime}} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{b}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\right)\mathbf{b}\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm b}\mathbf{b}\,\mathrm dt^{\boldsymbol{\prime}} \tag{1-08a}\label{1-08a}\\ \mathrm dt^{\boldsymbol{\prime\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm b}\left(\mathrm dt^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{b}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{c^{2}}\right) \tag{1-08b}\label{1-08b} \end{align}$ y en forma matricial

\begin{matrix} (1-09) & X^{''} = [\begin{matrix} X^{''} \\ C t^{''} \end{matrix}] = [\begin{matrix} I + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤} & - \frac{γ_{b}}{C} b \\ - \frac{γ_{b}}{C} b^{⊤} & γ_{b} \end{matrix}] [\begin{matrix} X^{'} \\ C t^{'} \end{matrix}] = L_{b} X^{'} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime\prime}} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime\prime}}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ c t^{\boldsymbol{\prime\prime}}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\,\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}} & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b} \vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}} & \hphantom{-}\gamma_{\mathrm b}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ c t^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \mathrm L_{\mathrm b}\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} \tag{1-09}\label{1-09} \end{equation}$ dónde

L_{b}

$\:\mathrm L_{\mathrm b}\:$ el verdadero simétrico

4 \times 4

$\:4\times 4\:$ matriz

\begin{matrix} (1-10) & L_{b} \equiv [\begin{matrix} I + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤} & - \frac{γ_{b}}{C} b \\ - \frac{γ_{b}}{C} b^{⊤} & γ_{b} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm L_{\mathrm b} \boldsymbol{\equiv} \begin{bmatrix} \mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\,\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}} & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b} \vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\\ \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}} & \hphantom{-}\gamma_{\mathrm b}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}} \end{bmatrix} \tag{1-10}\label{1-10} \end{equation}$

Que un impulso de Lorentz comooestá representado por la matriz $\eqref{1-05}$ o $\eqref{1-10}$ respectivamente ver mi respuesta en la Referencia 02

Tenga en cuenta que Lorentz aumenta, como el mencionado anteriormentey, son transformaciones de Lorentz homogéneas propias. Como se muestra en la ecuación $\eqref{1-11}$ una transformación de Lorentz homogénea adecuada $\:\Lambda\:$ está representado por un $\:4\times 4\:$ matriz real que cumple 3 condiciones

\begin{matrix} (1-11) & Λ = [\begin{matrix} Λ_{11} & Λ_{12} & Λ_{13} & Λ_{14} \\ Λ_{21} & Λ_{22} & Λ_{23} & Λ_{24} \\ Λ_{31} & Λ_{32} & Λ_{33} & Λ_{34} \\ Λ_{41} & Λ_{42} & Λ_{43} & Λ_{44} \end{matrix}], {\begin{cases} condición 1: Λ^{⊤} η Λ = η \\ condición 2: Λ_{44} \geq + 1 \\ condición 3: det Λ = + 1 \end{cases}} \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda = \begin{bmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} & \Lambda_{13} & \Lambda_{14}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} & \Lambda_{23} & \Lambda_{24}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \Lambda_{31} & \Lambda_{32} & \Lambda_{33} & \Lambda_{34}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \Lambda_{41} & \Lambda_{42} & \Lambda_{43} & \Lambda_{44}\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}\,, \qquad \left. \begin{cases} \texttt{ condition 1 : }\Lambda^{\boldsymbol{\top}}\eta\,\Lambda =\eta\\ \texttt{ condition 2 : }\Lambda_{44}\ge +1\\ \texttt{ condition 3 : }\det\Lambda=+1 \end{cases}\right\} \tag{1-11}\label{1-11} \end{equation}$ dónde

\begin{matrix} (1-12) & η = [\begin{matrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & + 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} I & 0 \\ 0^{⊤} & - 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \eta= \begin{bmatrix} +1 & \hphantom{+}0& \hphantom{+}0& \hphantom{-}0\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{+}0 & +1 & \hphantom{+}0 & \hphantom{-}0\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{+}0 & \hphantom{+}0 & +1& \hphantom{-}0\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{+}0 &\hphantom{+}0 &\hphantom{+}0 &-1\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & \hphantom{+}& \hphantom{+}& \hphantom{-}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{+} & \hphantom{+} \rm I & \hphantom{+} & \hphantom{-}\boldsymbol{0}\:\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{+} & \hphantom{+} & & \hphantom{-}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{+} &\hphantom{++}\boldsymbol{0}^{\boldsymbol{\top}} &\hphantom{+} & -1\:\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{1-12}\label{1-12} \end{equation}$

Como se ha demostrado en mi respuesta en la Referencia 01 , una transformación de Lorentz homogénea adecuadacomo en ecuacion $\eqref{1-11}$ podría expresarse en la forma

\begin{matrix} (1-13) & Λ = [\begin{matrix} \begin{array}{cccc} Λ_{11} & Λ_{12} & Λ_{13} & Λ_{14} \\ Λ_{21} & Λ_{22} & Λ_{23} & Λ_{24} \\ Λ_{31} & Λ_{32} & Λ_{33} & Λ_{34} \\ Λ_{41} & Λ_{42} & Λ_{43} & Λ_{44} \end{array} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \begin{array}{cccc} R + \frac{γ^{2}}{C^{2} (γ + 1)} v {tu}^{⊤} & - \frac{γ}{C} v \\ - \frac{γ}{C} {tu}^{⊤} & γ \end{array} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} & \Lambda_{13} & \Lambda_{14}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} & \Lambda_{23} & \Lambda_{24}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \Lambda_{31} & \Lambda_{32} & \Lambda_{33} & \Lambda_{34}\vphantom{\dfrac{a}{\tfrac{a}{b}}}\\ \hline \Lambda_{41} & \Lambda_{42} & \Lambda_{43} & \Lambda_{44}\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{b}} \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & \mathrm R\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\mathbf v \mathbf u^{\boldsymbol{\top}} & & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c}\mathbf v\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hline & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c}\mathbf u^{\boldsymbol{\top}} & & \gamma \vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{b}} \end{array} \end{bmatrix} \tag{1-13}\label{1-13} \end{equation}$ Tenga en cuenta que los 3 vectores de velocidad

v

$\:\mathbf v\:$ y

u

$\:\mathbf u\:$ son los de las descomposiciones

\begin{matrix} (1-14) & L (v) R = Λ = R L (tu) \end{matrix}

$\begin{equation} \rm L\left(\mathbf v\right)\mathcal R=\Lambda =\mathcal R\, \rm L\left(\mathbf u\right) \tag{1-14}\label{1-14} \end{equation}$ y

R

$\:\mathrm R\:$ es una rotación pura en el espacio.

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$\boldsymbol\S$ 2. La composición de dos aumentos de Lorentz y su descomposición

Para la composición de los realces de Lorentzy, ecuaciones $\eqref{1-05}$ y $\eqref{1-10}$ respectivamente, tenemos

\begin{matrix} (2-01) & X^{''} = L_{b} X^{'} = L_{b} L_{a} X = Λ X \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime\prime}} \boldsymbol{=} \mathrm L_{\mathrm b}\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{=}\mathrm L_{\mathrm b}\mathrm L_{\mathrm a}\mathbf{X}\boldsymbol{=}\Lambda \mathbf{X} \tag{2-01}\label{2-01} \end{equation}$ entonces

\begin{matrix} (2-02) & Λ \equiv L_{b} L_{a} \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda \boldsymbol{\equiv}\mathrm L_{\mathrm b}\mathrm L_{\mathrm a} \tag{2-02}\label{2-02} \end{equation}$ eso es

^{$\begin{aligned} Λ \equiv L_{b} L_{a} & = [\begin{matrix} \begin{array}{cccc} I + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤} & - \frac{γ_{b}}{C} b \\ - \frac{γ_{b}}{C} b^{⊤} & γ_{b} \end{array} \end{matrix}] [\begin{matrix} \begin{array}{cccc} I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤} & - \frac{γ_{a}}{C} a \\ - \frac{γ_{a}}{C} a^{⊤} & γ_{a} \end{array} \end{matrix}] \\ (2-03a) & = [\begin{matrix} \begin{array}{cccc} R + \frac{γ^{2}}{C^{2} (γ + 1)} v {tu}^{⊤} & - \frac{γ}{C} v \\ - \frac{γ}{C} {tu}^{⊤} & γ \end{array} \end{matrix}] \\ (2-03b) & dónde γ_{tu} = {(1 - \frac{{tu}^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} = γ = {(1 - \frac{v^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} = γ_{v} \end{aligned}$ $\begin{align} \Lambda \boldsymbol{\equiv}\mathrm L_{\mathrm b}\mathrm L_{\mathrm a} & \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & \mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}} & & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hline & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}} & & \gamma_{\mathrm b} \vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{b}} \end{array} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & \mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} & & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}}{c}\mathbf{a}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hline & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}}{c}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} & & \gamma_{\mathrm a} \vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{b}} \end{array} \end{bmatrix} \nonumber\\ &\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & \mathrm R\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\mathbf v \mathbf u^{\boldsymbol{\top}} & & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c}\mathbf v\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ & & & \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hline & \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c}\mathbf u^{\boldsymbol{\top}} & & \gamma \vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{b}} \end{array} \end{bmatrix} \tag{2-03a}\label{2-03a}\\ &\hphantom{\boldsymbol{=}=}\texttt{where }\gamma_{\mathrm u} \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm u^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12}\boldsymbol{=}\gamma \boldsymbol{=}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm v^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12}\boldsymbol{=}\gamma_{\mathrm v} \tag{2-03b}\label{2-03b} \end{align}$}La última expresión se debe a que

Λ \equiv L_{b} L_{a}

$\:\Lambda \boldsymbol{\equiv}\mathrm L_{\mathrm b}\mathrm L_{\mathrm a}\:$ es una transformación de Lorentz homogénea adecuada y, como tal, debe tener una forma como en el lado derecho de la ecuación

(1-13)

$\eqref{1-13}$ . Por eso^{$\begin{aligned} (2-04a) & R + \frac{γ^{2}}{C^{2} (γ + 1)} v {tu}^{⊤} & = [I + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤}] [I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤}] + \frac{γ_{a} γ_{b}}{C^{2}} b a^{⊤} \\ (2-04b) & - \frac{γ}{C} v & = [I + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤}] (- \frac{γ_{a}}{C} a) - \frac{γ_{a} γ_{b}}{C} b \\ (2-04c) & - \frac{γ}{C} {tu}^{⊤} & = (- \frac{γ_{b}}{C} b^{⊤}) [I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤}] - \frac{γ_{a} γ_{b}}{C} a^{⊤} \\ (2-04d) & γ & = γ_{a} γ_{b} (1 + \frac{a \cdot b}{C^{2}}) \end{aligned}$ $\begin{align} \mathrm R\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\mathbf v \mathbf u^{\boldsymbol{\top}} & \boldsymbol{=}\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\right]\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \right]\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c^2}\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \tag{2-04a}\label{2-04a}\\ \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c}\mathbf v & \boldsymbol{=}\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\right]\biggl(\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}}{c}\mathbf{a} \biggr)\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b} \tag{2-04b}\label{2-04b}\\ \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c}\mathbf u^{\boldsymbol{\top}} & \boldsymbol{=}\biggl(\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}} \biggr)\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \right]\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \tag{2-04c}\label{2-04c}\\ \gamma & \boldsymbol{=}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\biggl(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}}{c^2}\biggr) \tag{2-04d}\label{2-04d} \end{align}$}Ahora, el programa se ejecutará de la siguiente manera. el escalar

γ

$\:\gamma\:$ se determina a partir de

(2-04d)

$\eqref{2-04d}$ en función de las velocidades de impulso

a

$\:\mathbf a\:$ y

b

$\:\mathbf b$ . Dado esto determinamos los 3-vectores

v

$\:\mathbf v\:$ y

u

$\:\mathbf u\:$ de ecuaciones

(2-04b)

$\eqref{2-04b}$ y

(2-04c)

$\eqref{2-04c}$ respectivamente de nuevo como funciones de las velocidades de impulso

a

$\:\mathbf a\:$ y

b

$\:\mathbf b$ . Finalmente usando estas expresiones de

γ, v, u

$\:\gamma,\mathbf v,\mathbf u\:$ determinaremos la matriz

R

$\:\mathrm R$ de la ecuación

(2-04a)

$\eqref{2-04a}$ .

$-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!$

$\boldsymbol\S$ 3. El impulso de Lorentz de la descomposición

De ecuaciones $\eqref{2-04b}$ , $\eqref{2-04c}$ tenemos respectivamente

\begin{matrix} (3-01) & v = \frac{a + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} (b \cdot a) b + γ_{b} b}{γ_{b} (1 + \frac{a \cdot b}{C^{2}})} \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed{\:\: \mathbf v \boldsymbol{=} \dfrac{ \mathbf a\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf b\boldsymbol{\cdot} \mathbf a\right)\mathbf b\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\mathbf b}{\gamma_{\mathrm b}\biggl(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}}{c^2}\biggr)}\:\:} \tag{3-01}\label{3-01} \end{equation}$ y

\begin{matrix} (3-02) & {tu}^{⊤} = \frac{b^{⊤} + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} (a \cdot b) a^{⊤} + γ_{a} a^{⊤}}{γ_{a} (1 + \frac{a \cdot b}{C^{2}})} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf u^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{=}\dfrac{ \mathbf b^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)\mathbf a^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm a}\mathbf a^{\boldsymbol{\top}} }{\gamma_{\mathrm a}\biggl(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}}{c^2}\biggr)} \tag{3-02}\label{3-02} \end{equation}$ Ecuación de transposición

(3-02)

$\eqref{3-02}$

\begin{matrix} (3-03) & tu = \frac{b + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} (a \cdot b) a + γ_{a} a}{γ_{a} (1 + \frac{a \cdot b}{C^{2}})} \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed{\:\: \mathbf u \boldsymbol{=} \dfrac{ \mathbf b\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)\mathbf a\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm a}\mathbf a}{\gamma_{\mathrm a}\biggl(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}}{c^2}\biggr)} \:\:} \tag{3-03}\label{3-03} \end{equation}$ Tenga en cuenta que, como se esperaba, el vector

u

$\:\mathbf u\:$ es la suma relativista de los 3-vectores de velocidad

a, b

$\:\mathbf a,\mathbf b\:$ en este orden. es la velocidad de la

^{″} m o v i n g^{″}

$''\rm moving''$ marco

S^{″}

$\:\mathrm S''\:$ Con respeto a

^{″} r e s t^{″}

$''\rm rest''$ marco

S

$\:\mathrm S\:$ expresado por

S -

$\:\mathrm S-$ coordenadas, consulte la Figura-03 . Por otro lado inversamente el vector

- v

$\:\boldsymbol{-}\mathbf v\:$ es la suma relativista de los 3-vectores de velocidad

- b, - a

$\:\boldsymbol{-}\mathbf b,\boldsymbol{-}\mathbf a\:$ en este orden. es la velocidad de la

^{″} m o v i n g^{″}

$''\rm moving''$ marco

S

$\:\mathrm S\:$ Con respeto a

^{″} r e s t^{″}

$''\rm rest''$ marco

S^{″}

$\:\mathrm S''\:$ expresado por

S^{″} -

$\:\mathrm S''-$ coordenadas, consulte la Figura-03 . ¿Cuál es el vector de velocidad?

u

$\:\mathbf u\:$ para la transformación de Lorentz

Λ

$\:\Lambda\:$ este es el vector de velocidad

- v

$\:\boldsymbol{-}\mathbf v\:$ para la transformación inversa de Lorentz

Λ^{- 1}

$\:\Lambda^{\boldsymbol{-}1}$ desde

\begin{matrix} (3-04) & L (v) R = Λ = R L (tu) \end{matrix}

$\begin{equation} \rm L\left(\mathbf v\right)\mathcal R\boldsymbol{=}\Lambda \boldsymbol{=}\mathcal R\, \rm L\left(\mathbf u\right) \tag{3-04}\label{3-04} \end{equation}$ implica

\begin{matrix} (3-05) & L (- tu) R^{- 1} = Λ^{- 1} = R^{- 1} L (- v) \end{matrix}

$\begin{equation} \rm L\left(\boldsymbol{-}\mathbf u\right)\mathcal R^{\boldsymbol{-}1}\boldsymbol{=}\Lambda^{\boldsymbol{-}1}\boldsymbol{=}\mathcal R^{\boldsymbol{-}1}\, \rm L\left(\boldsymbol{-}\mathbf v\right) \tag{3-05}\label{3-05} \end{equation}$ En la Figura-04 el sistema

S

$\:\mathrm S\:$ se transforma bajo el impulso de Lorentz

L (u)

$\:\rm L\left(\mathbf u\right) \:$ al sistema

Ξ

$\:\Xi$ . Este último está en reposo con respecto al sistema.

S^{″}

$\:\mathrm S''$ a la que se transforma por la rotación pura

R

$\:\mathcal R$ .

(continuará en RESPUESTA - Parte B )

Frobenius · Answer 3

(continuación de RESPUESTA - Parte A )

RESPUESTA - Parte B

$\boldsymbol\S$ 4. La rotación de la descomposición

Insertar las expresiones $\eqref{3-01}$ , $\eqref{3-02}$ paraen ecuacion $\eqref{2-04a}$ tenemos

\begin{aligned} R & = [I + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤}] [I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤}] + \frac{γ_{a} γ_{b}}{C^{2}} b a^{⊤} - \frac{γ^{2}}{C^{2} (γ + 1)} v {tu}^{⊤} \\ = [I + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤}] [I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤}] + \frac{γ_{a} γ_{b}}{C^{2}} b a^{⊤} \\ - \frac{γ_{a}^{2} γ_{b}^{2} (1 + \frac{a \cdot b}{C^{2}})^{2}}{C^{2} (γ + 1)} [\frac{a + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} (b \cdot a) b + γ_{b} b}{γ_{b} (1 + \frac{a \cdot b}{C^{2}})}] [\frac{b^{⊤} + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} (a \cdot b) a^{⊤} + γ_{a} a^{⊤}}{γ_{a} (1 + \frac{a \cdot b}{C^{2}})}] ⟹ \\ R & = I + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} a a^{⊤} + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} b b^{⊤} + \frac{γ_{b}^{2} γ_{a}^{2} (a \cdot b)}{C^{4} (γ_{b} + 1) (γ_{a} + 1)} b a^{⊤} + \frac{γ_{a} γ_{b}}{C^{2}} b a^{⊤} \\ (4-01) & - \frac{γ_{a} γ_{b}}{C^{2} (γ + 1)} [a + \frac{γ_{b}^{2}}{C^{2} (γ_{b} + 1)} (b \cdot a) b + γ_{b} b] [b^{⊤} + \frac{γ_{a}^{2}}{C^{2} (γ_{a} + 1)} (a \cdot b) a^{⊤} + γ_{a} a^{⊤}] \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm R & \boldsymbol{=}\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\right]\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \right]\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c^2}\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\mathbf v \mathbf u^{\boldsymbol{\top}} \nonumber\\ & \boldsymbol{=}\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\right]\left[\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \right]\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c^2}\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \nonumber\\ &\hphantom{\boldsymbol{=}=}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}^2\gamma_{\mathrm b}^2\biggl(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}}{c^2}\biggr)^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left[\dfrac{ \mathbf a\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf b\boldsymbol{\cdot} \mathbf a\right)\mathbf b\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\mathbf b}{\gamma_{\mathrm b}\biggl(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}}{c^2}\biggr)}\right]\left[\dfrac{ \mathbf b^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)\mathbf a^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm a}\mathbf a^{\boldsymbol{\top}} }{\gamma_{\mathrm a}\biggl(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}}{c^2}\biggr)} \right] \implies \nonumber\\ \mathrm R & \boldsymbol{=}\mathrm I\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}\gamma^2_{\mathrm a}\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)}{c^4 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)} \mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c^2}\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}} \nonumber\\ &\hphantom{\boldsymbol{=}=}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left[\mathbf a\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf b\boldsymbol{\cdot} \mathbf a\right)\mathbf b\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\mathbf b\right]\left[ \mathbf b^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)\mathbf a^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm a}\mathbf a^{\boldsymbol{\top}} \right] \tag{4-01}\label{4-01} \end{align}$

Expandiendo el producto en la segunda fila de la ecuación anterior $\eqref{4-01}$ y reemplazando, debido a $\eqref{2-04d}$ ,

\begin{matrix} (4-02) & \frac{(a \cdot b)}{C^{2}} = \frac{(γ - γ_{a} γ_{b})}{γ_{a} γ_{b}} \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)}{c^2}\boldsymbol{=}\dfrac{\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)}{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}} \tag{4-02}\label{4-02} \end{equation}$ llegamos a la siguiente expresión de la matriz de rotación

\begin{matrix} (4-03) & R = I + F_{a a} a a^{⊤} + F_{b b} b b^{⊤} + F_{a b} a b^{⊤} + F_{b a} b a^{⊤} \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed{\:\:\mathrm R \boldsymbol{=}\mathrm I\boldsymbol{+}f_{\rm aa}\mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{+}f_{\rm bb}\mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{+}f_{\rm ab}\mathbf{a}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{+}f_{\rm ba}\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\:\:} \tag{4-03}\label{4-03} \end{equation}$ dónde

\begin{aligned} (4-04aa) & F_{a a} & = - \frac{γ_{a}^{2} (γ_{b}^{2} - 1)}{C^{2} (γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} [\equiv - \frac{γ_{a}^{2} (γ_{b} - 1)}{C^{2} (γ + 1) (γ_{a} + 1)}] \\ (4-04bb) & F_{b b} & = - \frac{γ_{b}^{2} (γ_{a}^{2} - 1)}{C^{2} (γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} [\equiv - \frac{γ_{b}^{2} (γ_{a} - 1)}{C^{2} (γ + 1) (γ_{b} + 1)}] \\ (4-04ab) & F_{a b} & = - \frac{γ_{a} γ_{b} (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)}{C^{2} (γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} [\equiv - \frac{γ_{a} γ_{b}}{C^{2} (γ + 1)}] \\ (4-04ba) & F_{b a} & = + \frac{γ_{a} γ_{b} [2 (γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)]}{C^{2} (γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{\rm aa} &\boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}\left(\gamma^2_{\mathrm b}\boldsymbol{-}1\right)}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left[\boldsymbol{\equiv}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm a}\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{-}1\right)}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)}\right] \tag{4-04aa}\label{4-04aa}\\ f_{\rm bb} &\boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}\left(\gamma^2_{\mathrm a}\boldsymbol{-}1\right)}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left[\boldsymbol{\equiv}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm b}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{-}1\right)}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\right] \tag{4-04bb}\label{4-04bb}\\ f_{\rm ab} & \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left[\boldsymbol{\equiv}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\right] \tag{4-04ab}\label{4-04ab}\\ f_{\rm ba} &\boldsymbol{=}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\left[2\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\right]}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \tag{4-04ba}\label{4-04ba} \end{align}$ el

γ -

$\gamma-$ factor dado por la ecuación

(2-04d)

$\eqref{2-04d}$ .

Si $\:\mathrm R\:$ representa una rotación del sistema de coordenadas alrededor del vector unitario $\:\mathbf n\:$ por un ángulo $\:\theta\:$ entonces para cualquier 3-vector $\:\mathbf x\:$

\begin{matrix} (4-05) & R X = porque θ X + (1 - porque θ) (norte \cdot X) - pecado θ norte \times X \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm R\,\mathbf x \boldsymbol{=}\cos\theta\,\mathbf x\boldsymbol{+}\left(1\boldsymbol{-}\cos\theta\right)\left(\mathbf n\boldsymbol{\cdot}\mathbf x\right)\boldsymbol{-}\sin\theta\,\mathbf n\boldsymbol{\times}\mathbf x \tag{4-05}\label{4-05} \end{equation}$ entonces para las matrices

R, R^{⊤}

$\mathrm R,\mathrm R^{\boldsymbol{\top}}$ tenemos

\begin{aligned} (4-06a) & R & = porque θ I + (1 - porque θ) norte {norte}^{⊤} - pecado θ norte \times \\ (4-06b) & R^{- 1} = R^{⊤} & = porque θ I + (1 - porque θ) norte {norte}^{⊤} + pecado θ norte \times \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm R \hphantom{^{\boldsymbol{\top}}\!\!\!} & \boldsymbol{=}\cos\theta\,\mathrm I\boldsymbol{+}\left(1\boldsymbol{-}\cos\theta\right)\mathbf n\mathbf n^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{-}\sin\theta\,\mathbf n\boldsymbol{\times} \tag{4-06a}\label{4-06a} \\ \mathrm R^{\boldsymbol{-}1}\!\!\boldsymbol{=}\mathrm R^{\boldsymbol{\top}}\!\!\! & \boldsymbol{=}\cos\theta\,\mathrm I\boldsymbol{+}\left(1\boldsymbol{-}\cos\theta\right)\mathbf n\mathbf n^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{+}\sin\theta\,\mathbf n\boldsymbol{\times} \tag{4-06b}\label{4-06b} \end{align}$ dónde

\begin{matrix} (4-07) & norte {norte}^{⊤} = [\begin{matrix} {norte}_{1} \\ {norte}_{2} \\ {norte}_{3} \end{matrix}] {[\begin{matrix} {norte}_{1} \\ {norte}_{2} \\ {norte}_{3} \end{matrix}]}^{⊤} = [\begin{matrix} {norte}_{1} \\ {norte}_{2} \\ {norte}_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} {norte}_{1} & {norte}_{2} & {norte}_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {norte}_{1}^{2} & {norte}_{1} {norte}_{2} & {norte}_{1} {norte}_{3} \\ {norte}_{2} {norte}_{1} & {norte}_{2}^{2} & {norte}_{2} {norte}_{3} \\ {norte}_{3} {norte}_{1} & {norte}_{3} {norte}_{2} & {norte}_{3}^{2} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf n \mathbf n ^{\boldsymbol{\top}}= \begin{bmatrix} n_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} ^{\boldsymbol{\top}} = \begin{bmatrix} n_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n^2_1 & n_1n_2 & n_1n_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_2n_1 & n^2_2 & n_2n_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ n_3n_1 & n_3n_2 & n^2_3\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{4-07}\label{4-07} \end{equation}$ y

\begin{matrix} (4-08) & norte \times = [\begin{matrix} 0 & - {norte}_{3} & {norte}_{2} \\ {norte}_{3} & 0 & - {norte}_{1} \\ - {norte}_{2} & {norte}_{1} & 0 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf n \boldsymbol{\times} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}n_3 & \hphantom{\boldsymbol{-}}n_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\:\:\\ \hphantom{\boldsymbol{-}}n_3 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}n_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\:\:\\ \boldsymbol{-}n_2 & \hphantom{\boldsymbol{-}}n_1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\dfrac{a}{b}}\:\: \end{bmatrix} \tag{4-08}\label{4-08} \end{equation}$ Podríamos determinar el ángulo

θ

$\:\theta\:$ y el eje

n

$\:\mathbf n\:$ dividir la matriz

R

$\:\mathrm R\:$ a su parte simétrica y antisimétrica sumando y restando ecuaciones

(4-06a)

$\eqref{4-06a}$ ,

(4-06b)

$\eqref{4-06b}$ lado a lado respectivamente

\begin{aligned} (4-09a) & porque θ I + (1 - porque θ) norte {norte}^{⊤} & = \frac{1}{2} (R + R^{⊤}) = parte simétrica \\ (4-09b) & - pecado θ norte \times & = \frac{1}{2} (R - R^{⊤}) = parte antisimétrica \end{aligned}

$\begin{align} \cos\theta\,\mathrm I\boldsymbol{+}\left(1\boldsymbol{-}\cos\theta\right)\mathbf n\mathbf n^{\boldsymbol{\top}} & \boldsymbol{=} \frac12\left(\mathrm R\boldsymbol{+}\mathrm R^{\boldsymbol{\top}}\right) \boldsymbol{=}\texttt{symmetric part} \tag{4-09a}\label{4-09a}\\ \boldsymbol{-}\sin\theta\,\mathbf n\boldsymbol{\times}& \boldsymbol{=} \frac12\left(\mathrm R\boldsymbol{-}\mathrm R^{\boldsymbol{\top}}\right) \boldsymbol{=}\texttt{antisymmetric part} \tag{4-09b}\label{4-09b} \end{align}$ Extrayendo la traza de la ecuación

(4-09a)

$\eqref{4-09a}$ utilizando también la expresión

(4-03)

$\eqref{4-03}$ de

R

$\:\mathrm R\:$ rendimientos

\begin{aligned} porque θ \cdot \overset{3}{\overset{⏞}{Tr (I)}} + (1 - porque θ) \cdot \overset{‖ norte ‖^{2} = 1}{\overset{⏞}{Tr (norte {norte}^{⊤})}} = \frac{1}{2} \cdot Tr (R + R^{⊤}) = Tr (R) = \\ \underset{3}{\underset{⏟}{Tr (I)}} + F_{a a} \underset{‖ a ‖^{2}}{\underset{⏟}{Tr (a a^{⊤})}} + F_{b b} \underset{‖ b ‖^{2}}{\underset{⏟}{Tr (b b^{⊤})}} + F_{a b} \underset{(a \cdot b)}{\underset{⏟}{Tr (a b^{⊤})}} + F_{b a} \underset{(a \cdot b)}{\underset{⏟}{Tr (b a^{⊤})}} ⟹ \end{aligned}

$\begin{align} & \cos\theta\cdot \overbrace{\texttt{Tr}\left(\mathrm I\right)}^{3}\boldsymbol{+}\left(1\boldsymbol{-}\cos\theta\right)\cdot\overbrace{\texttt{Tr}\left(\mathbf n\mathbf n^{\boldsymbol{\top}}\right)}^{\Vert\mathbf n\Vert^2\boldsymbol{=}1}\boldsymbol{=} \frac12\cdot\texttt{Tr}\left(\mathrm R\boldsymbol{+}\mathrm R^{\boldsymbol{\top}}\right) \boldsymbol{=}\texttt{Tr}\left(\mathrm R\right)\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\underbrace{\texttt{Tr}\left(\mathrm I\right)}_{3}\boldsymbol{+}f_{\rm aa}\underbrace{\texttt{Tr}\left(\mathbf{a}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\right)}_{\Vert\mathbf a\Vert^2}\boldsymbol{+}f_{\rm bb}\underbrace{\texttt{Tr}\left(\mathbf{b}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\right)}_{\Vert\mathbf b\Vert^2}\boldsymbol{+}f_{\rm ab}\underbrace{\texttt{Tr}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\right)}_{\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)}\boldsymbol{+}f_{\rm ba}\underbrace{\texttt{Tr}\left(\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\right)}_{\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)}\boldsymbol{\implies} \nonumber \end{align}$ eso es

\begin{matrix} (4-10) & 2 porque θ + 1 = Tr (R) = 3 + F_{a a} ‖ a ‖^{2} + F_{b b} ‖ b ‖^{2} + (F_{a b} + F_{b a}) (a \cdot b) \end{matrix}

$\begin{equation} 2\cos\theta\boldsymbol{+}1 \boldsymbol{=}\texttt{Tr}\left(\mathrm R\right)\boldsymbol{=}3\boldsymbol{+}f_{\rm aa}\Vert\mathbf a\Vert^2\boldsymbol{+}f_{\rm bb}\Vert\mathbf b\Vert^2\boldsymbol{+}\left(f_{\rm ab}\boldsymbol{+}f_{\rm ba}\right)\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right) \tag{4-10}\label{4-10} \end{equation}$ o

\begin{matrix} (4-11) & porque θ = \frac{Tr (R) - 1}{2} = 1 + \frac{F_{a a} ‖ a ‖^{2} + F_{b b} ‖ b ‖^{2} + (F_{a b} + F_{b a}) (a \cdot b)}{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \cos\theta\boldsymbol{=}\dfrac{\texttt{Tr}\left(\mathrm R\right)\boldsymbol{-}1}{2}\boldsymbol{=}1 \boldsymbol{+}\dfrac{f_{\rm aa}\Vert\mathbf a\Vert^2\boldsymbol{+}f_{\rm bb}\Vert\mathbf b\Vert^2\boldsymbol{+}\left(f_{\rm ab}\boldsymbol{+}f_{\rm ba}\right)\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right) }{2} \tag{4-11}\label{4-11} \end{equation}$ Los 7 elementos de la derecha de

(4-11)

$\eqref{4-11}$ podría expresarse como funciones de los factores gamma

γ, γ_{a}, γ_{b}

$\:\gamma,\gamma_{\mathrm a},\gamma_{\mathrm b}$ . los coeficientes

f_{a a}, f_{b b}, f_{a b}, f_{b a}

$\:f_{\rm aa},f_{\rm bb},f_{\rm ab},f_{\rm ba}\:$ por ecuaciones

(4-04aa)

$\eqref{4-04aa}$ ,

(4-04bb)

$\eqref{4-04bb}$ ,

(4-04ab)

$\eqref{4-04ab}$ ,

(4-04ba)

$\eqref{4-04ba}$ y las cantidades

‖ a ‖^{2}, ‖ b ‖^{2}, (a \cdot b)

$\:\Vert\mathbf a\Vert^2,\Vert\mathbf b\Vert^2,\left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot} \mathbf b\right)\:$ por el siguiente

\begin{aligned} (4-12a) & ‖ a ‖^{2} & = a^{2} = \frac{C^{2} (γ_{a}^{2} - 1)}{γ_{a}^{2}} \\ (4-12b) & ‖ b ‖^{2} & = b^{2} = \frac{C^{2} (γ_{b}^{2} - 1)}{γ_{b}^{2}} \\ (4-12c) & (a \cdot b) & = \frac{C^{2} (γ - γ_{a} γ_{b})}{γ_{a} γ_{b}} \end{aligned}

$\begin{align} \Vert\mathbf{a}\Vert^2 & \boldsymbol{=}\mathrm a^2\boldsymbol{=}\dfrac{c^2\left(\gamma^2_{\mathrm a}\boldsymbol{-}1\right)}{\gamma^2_{\mathrm a}} \tag{4-12a}\label{4-12a}\\ \Vert\mathbf{b}\Vert^2 & \boldsymbol{=}\mathrm b^2\boldsymbol{=}\dfrac{c^2\left(\gamma^2_{\mathrm b}\boldsymbol{-}1\right)}{\gamma^2_{\mathrm b}} \tag{4-12b}\label{4-12b}\\ \left(\mathbf a\boldsymbol{\cdot}\mathbf b\right) & \boldsymbol{=}\dfrac{c^2\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)}{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}} \tag{4-12c}\label{4-12c} \end{align}$ Reemplazo de rendimientos

\begin{matrix} (4-13) & porque θ = \frac{(γ + γ_{a} + γ_{b} + 1) (γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1) (γ_{a} + γ_{b})}{(γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed{\:\:\cos\theta\boldsymbol{=} \dfrac{\left(\gamma\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\right)}{\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{4-13}\label{4-13} \end{equation}$

Ahora, de la ecuación $\eqref{4-09b}$ tenemos

\begin{aligned} - pecado θ norte \times & = \frac{1}{2} (R - R^{⊤}) = \frac{1}{2} (F_{a b} - F_{b a}) (a b^{⊤} - b a^{⊤}) = - \frac{1}{2} (F_{a b} - F_{b a}) (b a^{⊤} - a b^{⊤}) ⟹ \\ - pecado θ norte \times & = - \frac{1}{2} (F_{a b} - F_{b a}) (a \times b) \times ⟹ \\ pecado θ norte & = \frac{1}{2} (F_{a b} - F_{b a}) (a \times b) \\ = - \frac{γ_{a} γ_{b} [(γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)]}{C^{2} (γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} (a \times b) \\ (4-14) & = - \frac{[(γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)] \sqrt{γ_{a}^{2} - 1} \sqrt{γ_{b}^{2} - 1}}{(γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} \frac{a \times b}{‖ a \times b ‖} pecado ω \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{-}\sin\theta\,\mathbf n\boldsymbol{\times} & \boldsymbol{=} \frac12\left(\mathrm R\boldsymbol{-}\mathrm R^{\boldsymbol{\top}}\right) \boldsymbol{=}\frac12\left(f_{\rm ab}\boldsymbol{-}f_{\rm ba}\right)\left(\mathbf{a}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{-}\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\right)\boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\frac12\left(f_{\rm ab}\boldsymbol{-}f_{\rm ba}\right)\left(\mathbf{b}\mathbf{a}^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{-}\mathbf{a}\mathbf{b}^{\boldsymbol{\top}}\right) \implies \nonumber\\ \boldsymbol{-}\sin\theta\,\mathbf n\boldsymbol{\times} & \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\frac12\left(f_{\rm ab}\boldsymbol{-}f_{\rm ba}\right)\left(\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)\boldsymbol{\times} \implies \nonumber\\ \sin\theta\,\mathbf n & \boldsymbol{=}\frac12\left(f_{\rm ab}\boldsymbol{-}f_{\rm ba}\right)\left(\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \nonumber\\ &\boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\left[\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\right]}{c^2\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \nonumber\\ &\boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{\left[\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\right]\sqrt{\gamma^2_{\mathrm a}\boldsymbol{-}1}\sqrt{\gamma^2_{\mathrm b}\boldsymbol{-}1}}{\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}}{\Vert\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}\Vert}\sin\omega \tag{4-14}\label{4-14} \end{align}$ dónde

ω \in [0, π]

$\:\omega \in [0,\pi]$ el ángulo entre los vectores

a, b

$\:\mathbf{a},\mathbf{b}$ . Entonces el eje de rotación es el eje del vector

a \times b

$\:\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}$ . Elegir el vector unitario

n

$\:\mathbf{n}\:$ como en

(4-15a)

$\eqref{4-15a}$ tenemos todos los detalles de la rotación de la siguiente manera

\begin{aligned} (4-15a) & norte & = \frac{a \times b}{‖ a \times b ‖} \\ (4-15b) & pecado θ & = - \frac{[(γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)] \sqrt{γ_{a}^{2} - 1} \sqrt{γ_{b}^{2} - 1}}{(γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} pecado ω \\ (4-15c) & porque θ & = \frac{(γ + γ_{a} + γ_{b} + 1) (γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1) (γ_{a} + γ_{b})}{(γ + 1) (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)} \\ (4-15d) & broncearse θ & = - \frac{[(γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1)] \sqrt{γ_{a}^{2} - 1} \sqrt{γ_{b}^{2} - 1}}{(γ + γ_{a} + γ_{b} + 1) (γ - γ_{a} γ_{b}) + (γ_{a} + 1) (γ_{b} + 1) (γ_{a} + γ_{b})} pecado ω \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf n & \boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}}{\Vert\mathbf{a}\boldsymbol{\times}\mathbf{b}\Vert} \tag{4-15a}\label{4-15a}\\ \sin\theta & \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{\left[\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\right]\sqrt{\gamma^2_{\mathrm a}\boldsymbol{-}1}\sqrt{\gamma^2_{\mathrm b}\boldsymbol{-}1}}{\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)}\sin\omega \tag{4-15b}\label{4-15b}\\ \cos\theta & \boldsymbol{=} \dfrac{\left(\gamma\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\right)}{\left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)} \tag{4-15c}\label{4-15c}\\ \tan\theta & \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{\left[\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\right]\sqrt{\gamma^2_{\mathrm a}\boldsymbol{-}1}\sqrt{\gamma^2_{\mathrm b}\boldsymbol{-}1}}{\left(\gamma\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma\boldsymbol{-}\gamma_{\mathrm a}\gamma_{\mathrm b}\right)\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm b}\boldsymbol{+}1\right)\left(\gamma_{\mathrm a}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm b}\right)}\sin\omega \tag{4-15d}\label{4-15d} \end{align}$

$\boldsymbol\S$ 5. Figuras

Combinando dos impulsos de Lorentz

Kekks

Cosmas Zachos

JG

Frobenius

natural

Respuestas (3)

G. Smith

Kekks

youpilat13

G. Smith

youpilat13

G. Smith

Frobenius

RESPUESTA - Parte A

Frobenius

RESPUESTA - Parte B

Nihar Karvé

Frobenius

Transformación relativista de c2/vc2/vc^2/v

Derivación de transformaciones de Lorentz

Prueba de unicidad de transformación entre marcos relativistas

Impulso puro de Lorentz; transponer ≠≠\neq inversa?

La homogeneidad del espacio implica la linealidad de las transformaciones de Lorentz

Relatividad Especial - Transformación de Lorentz

Transformación de Lorentz, problema con la derivación

¿Por qué diferenciamos un vector 4 con respecto al tiempo propio para obtener 4 velocidades?

¿Cómo es el magnetismo un resultado de la relatividad especial?

¿Las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales? [duplicar]