¿Cómo relacionaría Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} con la matriz de refuerzo de Lorentz?

I. Para obtener la forma matricial que cita de las transformaciones infinitesimales, debe:

1. Comience desde la transformación de Lorentz como se encuentra, por ejemplo, en el artículo de wikipedia .
2. Escribe la forma infinitesimal de estas transformaciones. Por ejemplo, para un impulso en el$x^1$direccion que tienes $$\tag{1-1} x'^0 = x^0 + \beta x^1 + \mathcal{O}(\beta^2),$$ $$\tag{1-2} x'^1 = x^1 + \beta x^0 + \mathcal{O}(\beta^2).$$ Esto corresponde a la aproximación $$\tag 2 \Lambda^\mu_{\,\,\nu} \approx \delta^\mu_{\,\,\nu} + \omega^\mu_{\,\,\nu},$$ donde acabamos de usar el$\delta$para indicar el componente de identidad de la transformación, y definido $\omega$como la parte linealizada de la transformación. En el ejemplo anterior tendríamos: $$\tag 3 \omega^0_{\,\,1} = \omega^1_{\,\,0} = \beta, \quad \omega^\mu_{\,\,\nu}=0 \text{ otherwise}.$$
3. Imagina la transformación de Lorentz$\Lambda$como compuesto de un infinito (digamos$N \gg 1$) sucesión de transformaciones infinitesimales de la forma (2) con parámetro$\omega/N$. Entonces tiene $$\tag 4\Lambda = \left( 1 + \omega/N \right)^N \rightarrow e^\omega, \,\, N \to \infty.$$ Finalmente, exponencie la$\omega$que encontraste en el paso 2 para obtener tu resultado.

II. Tenga en cuenta que la fórmula que citó en el título (V1),

$$\tag 5 \Lambda^a_{\,\,b} = \left[ \exp\left(-\frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu} \right) \right]^a_{\,\,b} \approx \delta^a_{\,\,b} - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} (J^{\mu\nu})^a_{\,\,b},$$ se sostiene por motivos más generales (para una representación genérica, módulo de sutilezas matemáticas, del grupo de Lorentz). Para obtener la representación vectorial que está considerando aquí, debe usar los generadores apropiados $J^{\mu\nu}$, que son en este caso $$\tag 6 (J^{\mu\nu})^{\rho\sigma} = i ( \eta^{\mu\rho} \eta^{\nu\sigma} - \eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\rho} ).$$ Para ver que esto es consistente con (2) considere el siguiente cálculo: $$\tag 7 \Lambda^\rho_{\,\,\sigma} = \delta^\rho_{\,\,\sigma} - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} (J^{\mu\nu})^\rho_{\,\,\sigma} = \delta^\rho_{\,\,\sigma} + \frac{1}{2} \omega_{\mu\nu} (\eta^{\mu\rho} \delta^\nu_{\,\,\sigma} - \eta^{\mu\sigma} \delta^\nu_{\,\,\rho}) = \delta^\rho_{\,\,\sigma} + \omega^\rho_{\,\,\sigma},$$ donde hemos usado (6) en (5) para volver a obtener (2) .

Consulte esta publicación de Phys.SE para obtener más detalles sobre las diversas representaciones del grupo Lorenzt.

La forma de pasar de la forma exponencial a la transformación de Lorentz más general puede ser un cálculo extremadamente tedioso. En principio, no hay nada más que hacer que calcular explícitamente la exponencial de una matriz dada. Le sugiero que intente arreglar cada generador y tenga una idea de la transformación que está generando. Por ejemplo, corrija el componente 1-2 para que sea un parámetro determinado$\psi$y dejar que todos los demás componentes de$\omega$ser cero, es decir

$$\omega_{12} = \psi,\qquad\omega_{ij} = 0,\quad\forall 1<i<j\leq4,$$ y calcular $$e^{-i\psi J^{12}}.$$