¿Cómo construir generadores y Lie Algebra para el grupo de Lorentz?

Question

¿Cómo construir generadores y Lie Algebra para el grupo de Lorentz?

una pregunta

Estoy tratando de averiguar el grupo de Lorentz en 2+1. En primer lugar, me gustaría pensar en el grupo ortogonal especial como una combinación de rotación e impulso en el espacio. Luego lo construyo como se muestra a continuación. Primera parte de rotación:

R (θ) = (\begin{matrix} C o s θ & - s i norte θ & 0 \\ s i norte θ & C o s θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$R(\theta)= \begin{pmatrix} cos\theta& -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Asumo

θ

$\theta$ es infinitesimalmente pequeño y

θ \sim ϵ

$\theta \sim \epsilon$ entonces

c o s θ \sim 1

$cos\theta \sim 1$ y

s i n θ \sim θ

$sin\theta \sim \theta$

R (θ) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) - ϵ (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$R(\theta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} -\epsilon \begin{pmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$ solo tengo un parametro

θ

$\theta$ así que supongo que también tengo un generador de rotaciones. Y es

j = (\begin{matrix} 0 & i & 0 \\ - i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$J=\begin{pmatrix} 0&i&0 \\ -i&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$ y construyo la parte de refuerzo como

T (ϕ) = (\begin{matrix} C o s h ϕ & 0 & s i norte h ϕ \\ 0 & 1 & 0 \\ s i norte h ϕ & 0 & C o s h ϕ \end{matrix})

$T(\phi)=\begin{pmatrix} cosh\phi&0&sinh\phi\\0&1&0\\sinh\phi&0&cosh\phi\end{pmatrix}$

T (θ) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) - ϵ (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

$T(\theta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} - \epsilon\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}$ y el generador viene de la traducción es

k = (\begin{matrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{matrix})

$K=\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\ i&0&0\end{pmatrix}$ Disculpas por la mala notación y terminología. Pero creo que necesito tener

\frac{n (n - 1)}{2}

$\frac{n(n-1)}{2}$ generador verdad? Si es así, tengo uno más, pero ¿cómo puedo conseguirlo? ¿Y cómo puedo construir Lie Algebra entonces?
NOTA: también publiqué esta pregunta en Math.SE, pero me temo que aquí es más adecuado. No estoy buscando una forma de que otros grupos isomórficos construyan este LG. No tengo mucho conocimiento sobre homomorfismo, isomorfismo, etc. Gracias.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/28535/2451

prahar

Supongo que cuando dices traducción, ¿realmente te refieres a impulso?

una pregunta

@Prahar sí, claro.

Respuestas (2)

¿Cómo construir generadores y Lie Algebra para el grupo de Lorentz?

Supongo que cuando dices traducción, ¿realmente te refieres a impulso?

prahar · Answer 1

Deberías tener dos generadores de impulso. Has construido uno para impulsar en el $x$ dirección, pero también hay uno para impulso en $y$ .

Selene Routley · Answer 2

$SO(1,\,2)$ , con dos dimensiones espaciales, solo tiene rotaciones en un plano: el de todo el espacio. Así que si nuestras coordenadas son $(t,\,x,\,y)$ (coordenadas espaciales al final), su generador de álgebra de Lie rotacional único (hasta un factor de escala real, por supuesto) debe ser:

R = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

$R=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)$

donde hemos puesto la unidad $I=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$ que exponencia a la rotación 2D $e^{I\,\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)$ en la esquina inferior derecha.

Así mismo ponemos el generador $K=\left(\begin{array}{cc}0&+1\\+1&0\end{array}\right)$ de impulsos 1D en el $x$ dirección, que se exponen a $e^{\eta\,K}=\left(\begin{array}{cc}\cosh\eta&\sinh\eta\\\sinh\eta&\cosh\eta\end{array}\right)$ en la esquina superior derecha para obtener el generador de impulsos en el $x$ dirección:

B_{X} = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

$B_x=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$

Haga lo mismo para los impulsos en el $y$ dirección en la primera/tercera fila/columna que corresponde a la hora y las coordenadas y:

B_{y} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

$B_y=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{array}\right)$

y luego mostrar fácilmente que el espacio lineal $\mathfrak{l}=\langle\{B_x,\,B_y,\,R\}\rangle$ atravesado por $\{B_x,\,B_y,\,R\}$ se cierra bajo el corchete de mentira, con relaciones de corchetes:

[B_{X}, B_{y}] = - R; [B_{X}, R] = - L y; [B_{y}, R] = + L X

$[B_x,\,B_y]=-R;\quad[B_x,\,R]=-Ly;\quad[B_y,\,R]=+Lx$

Por lo tanto, bajo la correspondencia de Lie, $\mathfrak{L}=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\,\exp(\mathfrak{l})^k$ es el componente conexo de la identidad $SO^+(1,\,2)$ de $SO(1,\,2)$ : el grupo de Lie de todos los impulsos y rotaciones en el $X\wedge Y$ avión _

El generador de impulsos en una dirección en ángulo. $\theta$ relativo a la $x$ eje es:

B_{θ} = A d ({mi}^{I θ}) B_{X} = {mi}^{I θ} B_{X} {mi}^{- I θ} = (\begin{array}{ccc} 0 & porque θ & pecado θ \\ porque θ & 0 & 0 \\ pecado θ & 0 & 0 \end{array})

$B_\theta = \mathrm{Ad}(e^{I\,\theta})\,B_x = e^{I\,\theta}\,B_x\,e^{-I\,\theta} = \left(\begin{array}{ccc}0&\cos\theta&\sin\theta\\\cos\theta&0&0\\\sin\theta&0&0\end{array}\right)$

exponenciando al impulso general $\beta(\theta\,\eta) = \exp(\eta\,B_\theta)$ , que resulta:

β (θ, η) = (\begin{array}{ccc} aporrear (η) & porque (θ) pecado (η) & pecado (θ) pecado (η) \\ porque (θ) pecado (η) & aporrear (η) {porque}^{2} (θ) + {pecado}^{2} (θ) & porque (θ) (aporrear (η) - 1) pecado (θ) \\ pecado (θ) pecado (η) & porque (θ) (aporrear (η) - 1) pecado (θ) & {porque}^{2} (θ) + aporrear (η) {pecado}^{2} (θ) \end{array})

$\beta(\theta,\,\eta)=\left( \begin{array}{ccc} \cosh (\eta ) & \cos (\theta ) \sinh (\eta ) & \sin (\theta ) \sinh (\eta ) \\ \cos (\theta ) \sinh (\eta ) & \cosh (\eta ) \cos ^2(\theta )+\sin ^2(\theta ) & \cos (\theta ) (\cosh (\eta )-1) \sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) \sinh (\eta ) & \cos (\theta ) (\cosh (\eta )-1) \sin (\theta ) & \cos ^2(\theta )+\cosh (\eta ) \sin ^2(\theta ) \\ \end{array} \right)$

Alternativamente, puede escribir un impulso general como $\exp(\eta_x\,B_x+\eta_y\,B_y)$ con el resultado:

Exp (η_{X} B_{X} + η_{y} B_{y}) = (\begin{array}{ccc} aporrear (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}) & \frac{η_{X} pecado (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}})}{\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}} & \frac{η_{y} pecado (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}})}{\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}} \\ \frac{η_{X} pecado (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}})}{\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}} & \frac{aporrear (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}) η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}} & \frac{η_{X} η_{y} (aporrear (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}) - 1)}{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}} \\ \frac{η_{y} pecado (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}})}{\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}} & \frac{η_{X} η_{y} (aporrear (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}}) - 1)}{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}} & \frac{η_{X}^{2} + η_{y}^{2} aporrear (\sqrt{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}})}{η_{X}^{2} + η_{y}^{2}} \end{array})

$\exp(\eta_x\,B_x+\eta_y\,B_y)=\left( \begin{array}{ccc} \cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right) & \frac{\eta_x \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} & \frac{\eta_y \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} \\ \frac{\eta_x \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} & \frac{\cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right) \eta_x^2+\eta_y^2}{\eta_x^2+\eta_y^2} & \frac{\eta_x \eta_y \left(\cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)-1\right)}{\eta_x^2+\eta_y^2} \\ \frac{\eta_y \sinh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}} & \frac{\eta_x \eta_y \left(\cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)-1\right)}{\eta_x^2+\eta_y^2} & \frac{\eta_x^2+\eta_y^2 \cosh \left(\sqrt{\eta_x^2+\eta_y^2}\right)}{\eta_x^2+\eta_y^2} \\ \end{array} \right)$

A diferencia del $SO(1,\,3)$ , que tiene dos componentes conexas, no existen matrices determinantes unitarias que conserven la pseudonorma $t^2 - x^2 -y^2$ que están afuera $SO^+(1,\,2)$ . así que de hecho $SO^+(1,\,2)\cong SO(1,\,2)$ mientras $SO^+(1,\,3)\not\cong SO(1,\,3)$ .

Sea testigo de la siguiente sesión de Mathematica, para ayudarlo con estos cálculos:

En[1]:= Bx = {{0, 1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 0}};
En[2]:= Por = {{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {1, 0, 0}};
En[3]:= R = {{0, 0, 0}, {0, 0, -1}, {0, 1, 0}};

En[4]:= mentira[X_, Y_] := XY - YX

En[5]:= Mentira[Bx, Por] + R
Salida[5]= {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}

En[6]:= Mentir[Bx, R] + Por
Fuera[6]= {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}

En[7]:= Mentira[Por, R] - Bx
Salida[7]= {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}

In[8]:= MatrixExp[theta R].Bx.MatrixExp[-theta R] // Simplificar
Fuera[8]= {{0, Cos[theta], Sin[theta]}, {Cos[theta], 0, 0}, {Sin[theta],0, 0}}

In[9]:= ExpToTrig[MatrixExp[eta MatrixExp[theta R].Bx.MatrixExp[-theta R]]] // Simplificar

Salida[9]= {{Cosh[eta], Cos[theta] Sinh[eta],
  Sin[theta] Sinh[eta]}, {Cos[theta] Sinh[eta],
  Cos[theta]^2 Cosh[eta] + Sin[theta]^2,
  Cos[theta] (-1 + Cosh[eta]) Sin[theta]}, {Sin[theta] Sinh[eta],
  Cos[theta] (-1 + Cosh[eta]) Sin[theta],
  Cos[theta]^2 + Cosh[eta] Sin[theta]^2}}

In[10]:= ExpToTrig[MatrixExp[etax Bx + etay By]] // Simplificar

Salida[10]= {{Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]], (
  etax Sinh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2], (
  etay Sinh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2]}, {(
  etax Sinh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2], (
  etay^2 + etax^2 Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/(etax^2 + etay^2), (
  etax etay (-1 + Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]]))/(etax^2 + etay^2)}, {(
  etay Sinh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/Sqrt[etax^2 + etay^2], (
  etax etay (-1 + Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]]))/(etax^2 + etay^2), (
  etax^2 + etay^2 Cosh[Sqrt[etax^2 + etay^2]])/(etax^2 + etay^2)}}

Gracias por la respuesta. La mayoría de los libros de texto solo nos enseñarían la forma unidimensional, lo que da como resultado la fórmula para 𝛽(𝜃,𝜂). Tengo curiosidad acerca de la forma exp(𝜂𝑥𝐵𝑥+𝜂𝑦𝐵𝑦). ¿Tiene alguna referencia sobre la derivación de la segunda forma?

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Respuestas (2)

prahar

Selene Routley

po c

¿Cómo relacionaría Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} con la matriz de refuerzo de Lorentz?

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