Vínculo entre la descomposición su(2)su(2)\mathfrak{su}(2) y el álgebra de Lorentz Lie

Primero, un detalle menor, el isomorfismo de las álgebras de Lie que mencionas exige una complejidad. El álgebra de Lorentz$\mathfrak{so}(1,3)$por defecto es un álgebra de mentira real. Observa que cuando pruebas el isomorfismo antes mencionado necesitas tomar combinaciones lineales de los generadores multiplicando por$i$. Para hacerlo, debe complejizar, por lo que la declaración correcta sería$\mathfrak{so}_\mathbb{C}(1,3)\simeq \mathfrak{su}_\mathbb{C}(2)\oplus \mathfrak{su}_\mathbb{C}(2)$. Para obtener más detalles sobre esto, consulte "Teoría cuántica de campos para matemáticos" de Robin Ticciati, que incluye una buena discusión.

Ahora, un error más grave es que, como se explica en los comentarios, dices que$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$es$\frac{1}{2}\oplus \frac{1}{2}$. Eso no es cierto en absoluto. La verdadera construcción es esta: tan pronto como complejices el álgebra de Lorentz para$\mathfrak{so}_\mathbb{C}(1,3)$puedes construir los elementos

$$\mathscr{A}_i=\dfrac{1}{2}(\mathscr{J}_i+i\mathscr{K}_i),\quad \mathscr{B}_i=\dfrac{1}{2}(\mathscr{J}_i-i\mathscr{K}_i),\tag{1}$$

dónde$\mathscr{J}_i$son los operadores de momento angular y$\mathscr{K}_i$los generadores de impulso. Puedes comprobar fácilmente que el álgebra de Lorentz implica$\mathscr{A}_i$y$\mathscr{B}_j$conmutan entre sí y obedecen independientemente el álgebra del momento angular. Para construirlos, elige dos representaciones del álgebra del momento angular, digamos las irrepeticiones con espines.$A$y$B$. El primero actúa sobre$\mathbb{C}^{2A+1}$y tiene generadores$J_i^{(A)}$y el segundo en$\mathbb{C}^{2B+1}$y tiene generadores$J_i^{(B)}$. Luego construyes el espacio.$\mathbb{C}^{2A+1}\otimes \mathbb{C}^{2B+1}$e incrustas estos generadores como

$$\mathscr{A}_i = J_i^{(A)}\otimes 1_B,\quad \mathscr{B}_i = 1_A\otimes J_i^{(B)}.\tag{2}$$

De nuevo es muy fácil demostrar que$\mathscr{A}_i$viaja con el$\mathscr{B}_j$y que individualmente satisfacen el mismo álgebra que$J_i^{(A)}$y$J_i^{(B)}$satisface Luego usa (1) en la dirección inversa para obtener la acción de los generadores de Lorentz. Ya que tienes un espacio de representación$\mathbb{C}^{2A+1}\otimes \mathbb{C}^{2B+1}$y los operadores allí definidos obedeciendo al álgebra de Lorentz se tiene una representación del álgebra de Lorentz. Como puede ver, esto no se parece en nada a una suma directa de dos representaciones de$\mathfrak{su}_\mathbb{C}(2)$Que es que$\frac{1}{2}\oplus \frac{1}{2}$medio.

Ahora a su pregunta, ¿qué quiere decir realmente la gente cuando dice que$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$se descompone como$0\oplus 1$es que el subgrupo de rotación del grupo de Lorentz se representa reduciblemente y su representación se descompone como$0\oplus 1$.

Matemáticamente, toma${\rm SO}(1,3)$. Como las rotaciones son transformaciones de Lorentz, tenemos${\rm SO}(3)\subset {\rm SO}(1,3)$. Más rigurosamente, hay un subgrupo de${\rm SO}(1,3)$isomorfo a${\rm SO}(3)$. Ahora si$V$es un espacio de representación de${\rm SO}(1,3)$y$\rho: {\rm SO}(1,3)\to {\rm GL}(V)$es una representación, si se considera$\rho(R)$ solo para$R\in {\rm SO}(3)$luego, por restricción a un subgrupo, tiene una representación del grupo de rotación$\rho|_{\rm SO}(3):{\rm SO}(3)\to {\rm GL}(V)$. Esta representación puede ser reducible o irreducible y, en particular, puedes descomponerla en los irreps que ya conoces.

Eso es lo que está pasando. En el$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$representación del grupo Lorentz, los asociados${\rm SO}(3)$la representacion es$0\oplus 1$.

Esto es importante para estudiar porque está ligado a los espines de las partículas que el campo es capaz de representar. Para una discusión en profundidad, consulte el Capítulo 5 de "The Quantum Theory of Fields, Volume 1" de Weinberg.