¿Existe un teorema general que establezca por qué el mapa exponencial del grupo de Lorentz restringido es sobreyectivo?

Comentarios a la pregunta (v2):

1. El consenso en la literatura parece ser que la sobreyectividad del mapa exponencial

   $$\tag{1}\exp: so(1,d;\mathbb{R}) \to SO^+(1,d;\mathbb{R})$$ para el grupo de Lorentz restringido para dimensiones generales de espacio-tiempo$D=d+1$no tiene una prueba corta.

   • El caso$d=1$es trivial

   • El caso$d=2$puede demostrarse mediante el isomorfismo$SO^+(1,2;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2$, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

   • El caso$d=3$puede demostrarse mediante el isomorfismo$SO^+(1,3;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$, cf. por ejemplo, Wikipedia y esta publicación de Phys.SE.

2. Ya el mapa exponencial$\exp: sl(2,\mathbb{R}) \to SL(2,\mathbb{R})$no es sobreyectiva, cf. por ejemplo , esta respuesta MO.SE y esta publicación Phys.SE. Tenga en cuenta que las álgebras de Lie

   $$\tag{2}so(1,2;\mathbb{R}) ~\cong~ sl(2,\mathbb{R})$$ son isomorfos, pero solo el grupo de Lie$SO^+(1,3;\mathbb{R})$porque el lado izquierdo del isomorfismo (2) tiene un mapa exponencial sobreyectivo; no el grupo de mentira$SL(2,\mathbb{R})$para el lado derecho. Un contraejemplo como (2) indudablemente hace que sea delicado tratar de formular una generalización de (1) más allá de los grupos restringidos de Lorentz$SO^+(1,d;\mathbb{R})$y pruebas caso por caso. Vea también esta publicación de Math.SE.

@Qmechanic: creo que hay problemas con la discusión de Baker sobre la sobreyectividad en "grupos Matrix". Aquí hay una cita de las notas de la conferencia de Jean Gallier y Jocelyn Quaintance en U Penn: ( http://www.seas.upenn.edu/~jean/diffgeom.pdf )

1) es diagonalizable como A = PDP−1, el Teorema 6.9 (y el Teorema 6.10) pierden algunos valores propios posibles y la matriz P no está necesariamente en SO0(n,1) (como ya muestra el caso n = 1). Para un análisis completo de los valores propios de las isometrías de Lorentz (y mucho más), se debe consultar Riesz [146] (Capítulo III)".