Generadores de grupos de Lorentz y su dimensionalidad

No estoy seguro acerca de los generadores del grupo de Lorentz y su dimensionalidad.

Creo que cualquier transformación de Lorentz puede escribirse como el producto de una transformación de Lorentz ortócrona adecuada con un elemento de { 1 , PAG , T , PAG T } dónde PAG es la inversión del espacio y T es la inversión del tiempo. El grupo de Lorentz ortocrónico adecuado tiene 6 generadores, por lo que con { 1 , PAG , T , PAG T } parece que uno necesita 7 piezas de información para describir una transformación general de Lorentz. ¿Por qué, entonces, el grupo tiene sólo seis dimensiones, es decir, sólo cuenta para él el número de generadores?

Además, ¿cuál es el significado del hecho de que los otros tres componentes no pueden fabricarse directamente a partir de estos generadores (porque no están conectados a la identidad), sino que necesitan un componente adicional? PAG , T , o PAG T ? ¿Significa esto que no tienen el mismo álgebra de Lie?

No, el grupo de Lorentz ortocrónico propio y el grupo de Lorentz completo tienen el mismo álgebra de Lie
No hay generadores para grupos discretos. La definición está hecha solo para grupos de Lie, por lo que las variedades localmente homemórficas a R norte .
@DanielC aunque (quizás de manera confusa) los grupos discretos tienen un concepto diferente llamado generador. En ese sentido, el grupo 1 , PAG , T , PAG T es isomorfo a Z × Z y tiene dos "generadores". No creo que haya ninguna conexión obvia y nunca querrías hablar de ambos conceptos a la vez.

Respuestas (1)

El grupo de Lorentz tiene cuatro partes desconectadas. Cada una de esas partes tenía seis dimensiones. La razón por la que necesita P y T además de los generadores para llegar a cada parte del grupo de Lorentz es que no puede moverse a lo largo de un camino continuo entre cualquiera de las cuatro partes desconectadas. Si perdona algunas matemáticas físicas descuidadas, los generadores representan elementos de grupo "infinitesimales" cerca de 1. Puede crear una ruta continua lejos de 1 encadenando un montón de ellos. Pero no puedes saltar a otra parte del grupo.

El hecho de que haya múltiples piezas no significa que haya una dimensión adicional en ningún sentido normal. No puedo moverme en la dirección P. O estoy en P o no lo estoy.

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