¿Son los espinores representaciones del grupo de Lorentz o su álgebra asociada?

Los espinores son representaciones proyectivas de los$SO(m,n)$, es decir, proporcionan representaciones hasta algunas fases:

$$U(g)U(h)=e^{i\theta_{g,h}}U(gh)$$ Estas fases resultan representar el grupo de bucles cerrados en el$SO(m,n)$, también conocido como el grupo fundamental de$SO(m,n)$. Bucles en el$SO(m,n)$colector de$0$a$2\pi$no están continuamente conectados a bucles arbitrariamente pequeños, se estiran por razones topológicas. las fases$\theta_{g,h}$capturar esos bucles. Es$n\pi$para bucles obtenidos por rotaciones continuas de$0$a$2\pi n$. Puedes ver más sobre eso aquí

Los espinores serán representaciones verdaderas -no proyectivas- de la doble cubierta de$SO(m,n)$también conocido como$\text{spin}(m,n)$. Resulta que la funda doble también es la funda universal si$m+n>2$.

Tenemos algunos isomorfismos "accidentales" donde para lo suficientemente pequeño$m$y$n$el grupo de espín es isomorfo a algunos grupos clásicos como

$$\text{Spin}(4)\cong SU(2)\times SU(2),\quad \text{Spin}(3,1)\cong SL(2,\mathbb{C}),$$ $$\text{Spin}(2,2)\cong SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$$

Los físicos de partículas suelen cometer el error de confundir$SU(2)\times SU(2)$con$SL(2,\mathbb{C})$. Si las condiciones de realidad para los espinores no son importantes, entonces este error no te perjudicará. Sin embargo, si desea hacer cosas un poco más sofisticadas, como las variables de helicidad del espinor y los twistores, este error lo perjudicará mucho.

¿Por qué las representaciones proyectivas son relevantes para la física?

Resulta que en Mecánica Cuántica la simetría de grupo se representa proyectivamente por el espacio de Hilbert del sistema cuántico. Esto es así porque dos estados que difieren en una fase deberían describir la misma física, por lo que debemos considerar clases de equivalencias

$$|\psi\rangle\cong e^{i\theta}|\psi\rangle$$

y esto se reflejará en una noción más débil de multiplicación de grupos

$$U(g)|\psi\rangle = e^{i\theta_{g}}|g\psi\rangle,\quad U(h)|\psi\rangle = e^{i\theta_{h}}|h\psi\rangle \quad U(g)U(h)|\psi\rangle = e^{i\theta_{gh}}|gh\psi\rangle$$

a veces podemos absorber todas esas fases por redefiniciones de la$U$'s pero a veces no podemos. Puede haber obstrucciones algebraicas y/o topológicas para hacerlo. La presencia de cargas centrales son obstrucciones algebraicas mientras que el grupo fundamental no trivial son obstrucciones topológicas.

Las representaciones proyectivas son algebraicamente difíciles de manipular, pero podemos usar un truco. Resulta que siempre es posible modificar el grupo de simetría.$G$a$G'$para tener:

Todas las representaciones proyectivas de$G$son representaciones no proyectivas de$G'$

Para situaciones en las que tenemos cargos centrales, la modificación es promover que el cargo central sea un nuevo generador y considerar su teoría en un sector de superselección para este cargo, es decir, todos los operadores físicos deben conmutar con este nuevo generador y todos los estados deben ser un estado propio particular. de este nuevo generador.

Para situaciones como el caso del espín, donde existe una obstrucción topológica, la modificación se da promoviendo el grupo original$G$a su funda universal$G'$, que básicamente es aceptar todas las representaciones del álgebra de Lie y exponenciarla , lo que da todas las representaciones de$G'$.

Puede ver más sobre esto en los capítulos 2 y 5 de Quantum Theory of Fields: Foundations de S. Weinberg.